Theorem knoppndvlem12 32514

Description: Lemma for knoppndv 32525. (Contributed by Asger C. Ipsen, 29-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem12.c	|- ( ph -> C e. ( -u 1 (,) 1 ) )
knoppndvlem12.n	|- ( ph -> N e. NN )
knoppndvlem12.1	|- ( ph -> 1 < ( N x. ( abs ` C ) ) )

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem12	|- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) =/= 1 /\ 1 < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) )

Proof of Theorem knoppndvlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10055	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
2		2re 11090	. . . . . 6 |- 2 e. RR
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2 e. RR )
4		knoppndvlem12.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
5		nnre 11027	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
7	3, 6	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
8		knoppndvlem12.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( -u 1 (,) 1 ) )
9	8	knoppndvlem3 32505	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. RR /\ ( abs ` C ) < 1 ) )
10	9	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
11	10	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. CC )
12	11	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
13	7, 12	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) e. RR )
14		1lt2 11194	. . . . . 6 |- 1 < 2
15	14	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 < 2 )
16		2t1e2 11176	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 1 ) = 2
17	16	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- 2 = ( 2 x. 1 )
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 = ( 2 x. 1 ) )
19	6, 12	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N x. ( abs ` C ) ) e. RR )
20		2rp 11837	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
22		knoppndvlem12.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < ( N x. ( abs ` C ) ) )
23	1, 19, 21, 22	ltmul2dd 11928	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) < ( 2 x. ( N x. ( abs ` C ) ) ) )
24	18, 23	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 < ( 2 x. ( N x. ( abs ` C ) ) ) )
25	3	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
26	6	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. CC )
27	12	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. CC )
28	25, 26, 27	mulassd 10063	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) = ( 2 x. ( N x. ( abs ` C ) ) ) )
29	28	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( N x. ( abs ` C ) ) ) = ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) )
30	24, 29	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ph -> 2 < ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) )
31	1, 3, 13, 15, 30	lttrd 10198	. . . 4 |- ( ph -> 1 < ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) )
32	1, 31	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( 1 e. RR /\ 1 < ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ) )
33		ltne 10134	. . 3 |- ( ( 1 e. RR /\ 1 < ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) =/= 1 )
34	32, 33	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) =/= 1 )
35		1p1e2 11134	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
36	35	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) = 2 )
37	36, 30	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) < ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) )
38	1, 1, 13	ltaddsubd 10627	. . 3 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) < ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) <-> 1 < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) )
39	37, 38	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> 1 < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) )
40	34, 39	jca 554	1 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) =/= 1 /\ 1 < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  32516  knoppndvlem15  32517  knoppndvlem17  32519  knoppndvlem20  32522