Theorem knoppndvlem14 32516

Description: Lemma for knoppndv 32525. (Contributed by Asger C. Ipsen, 1-Jul-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 7-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem14.t	|- T = ( x e. RR |-> ( abs ` ( ( |_ ` ( x + ( 1 / 2 ) ) ) - x ) ) )
knoppndvlem14.f	|- F = ( y e. RR |-> ( n e. NN0 |-> ( ( C ^ n ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ n ) x. y ) ) ) ) )
knoppndvlem14.a	|- A = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. M )
knoppndvlem14.b	|- B = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( M + 1 ) )
knoppndvlem14.c	|- ( ph -> C e. ( -u 1 (,) 1 ) )
knoppndvlem14.j	|- ( ph -> J e. NN0 )
knoppndvlem14.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
knoppndvlem14.n	|- ( ph -> N e. NN )
knoppndvlem14.1	|- ( ph -> 1 < ( N x. ( abs ` C ) ) )

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem14	|- ( ph -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, n, y   x, A, i   B, i, n, y   x, B   C, i, n, y   i, J, n, y   i, N, n, y   x, N   T, n, y   ph, i, n, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   C( x)   T( x, i)   F( x, y, i, n)   J( x)   M( x, y, i, n)

Proof of Theorem knoppndvlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem14.t	. . . . . 6 |- T = ( x e. RR |-> ( abs ` ( ( |_ ` ( x + ( 1 / 2 ) ) ) - x ) ) )
2		knoppndvlem14.f	. . . . . 6 |- F = ( y e. RR |-> ( n e. NN0 |-> ( ( C ^ n ) x. ( T ` ( ( ( 2 x. N ) ^ n ) x. y ) ) ) ) )
3		knoppndvlem14.b	. . . . . . . 8 |- B = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( M + 1 ) )
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( M + 1 ) ) )
5		knoppndvlem14.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
6		knoppndvlem14.j	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. NN0 )
7	6	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. ZZ )
8		knoppndvlem14.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
9	8	peano2zd 11485	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
10	5, 7, 9	knoppndvlem1 32503	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( M + 1 ) ) e. RR )
11	4, 10	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
12		knoppndvlem14.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. ( -u 1 (,) 1 ) )
13	12	knoppndvlem3 32505	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C e. RR /\ ( abs ` C ) < 1 ) )
14	13	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
15	1, 2, 11, 14, 5	knoppndvlem5 32507	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) e. RR )
16		knoppndvlem14.a	. . . . . . . 8 |- A = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. M )
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. M ) )
18	5, 7, 8	knoppndvlem1 32503	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. M ) e. RR )
19	17, 18	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
20	1, 2, 19, 14, 5	knoppndvlem5 32507	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) e. RR )
21	15, 20	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) e. RR )
22	21	recnd 10068	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) e. CC )
23	22	abscld 14175	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) e. RR )
24	11, 19	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
25	24	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( B - A ) e. CC )
26	25	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( B - A ) ) e. RR )
27		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... ( J - 1 ) ) e. Fin )
28		2re 11090	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. RR )
30		nnre 11027	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. RR )
31	5, 30	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. RR )
32	29, 31	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
33	14	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. CC )
34	33	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. RR )
35	32, 34	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) e. RR )
36	35	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) e. RR )
37		elfznn0 12433	. . . . . 6 |- ( i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) -> i e. NN0 )
38	37	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> i e. NN0 )
39	36, 38	reexpcld 13025	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) e. RR )
40	27, 39	fsumrecl 14465	. . 3 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) e. RR )
41	26, 40	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( B - A ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) e. RR )
42	34, 6	reexpcld 13025	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) ^ J ) e. RR )
43		2ne0 11113	. . . . 5 |- 2 =/= 0
44	43	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
45	42, 29, 44	redivcld 10853	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) e. RR )
46		1red 10055	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
47	35, 46	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) e. RR )
48		0red 10041	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR )
49		0lt1 10550	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < 1 )
51		knoppndvlem14.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( N x. ( abs ` C ) ) )
52	12, 5, 51	knoppndvlem12 32514	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) =/= 1 /\ 1 < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) )
53	52	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) )
54	48, 46, 47, 50, 53	lttrd 10198	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) )
55	48, 54	jca 554	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 e. RR /\ 0 < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) )
56		ltne 10134	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) =/= 0 )
57	55, 56	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) =/= 0 )
58	46, 47, 57	redivcld 10853	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) e. RR )
59	45, 58	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
60	1, 2, 19, 11, 12, 6, 5	knoppndvlem11 32513	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) <_ ( ( abs ` ( B - A ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) )
61	4, 17	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B - A ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( M + 1 ) ) - ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. M ) ) )
62	29	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 e. CC )
63	31	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. CC )
64		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
65	5, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 <_ N )
66	48, 46, 31, 50, 65	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < N )
67	48, 66	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 e. RR /\ 0 < N ) )
68		ltne 10134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < N ) -> N =/= 0 )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N =/= 0 )
70	62, 63, 44, 69	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. N ) =/= 0 )
71	7	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -u J e. ZZ )
72	32, 70, 71	reexpclzd 13034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) e. RR )
73	72, 29, 44	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) e. RR )
74	73	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) e. CC )
75	9	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. CC )
76	8	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. CC )
77	74, 75, 76	subdid 10486	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( M + 1 ) - M ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( M + 1 ) ) - ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. M ) ) )
78	77	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( M + 1 ) ) - ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. M ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( M + 1 ) - M ) ) )
79		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
80	76, 79	pncan2d 10394	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - M ) = 1 )
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( M + 1 ) - M ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. 1 ) )
82	74	mulid1d 10057	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. 1 ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) )
83	78, 81, 82	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( M + 1 ) ) - ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. M ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) )
84	61, 83	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B - A ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) )
85	84	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( B - A ) ) = ( abs ` ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) ) )
86	72	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) e. CC )
87	86, 62, 44	absdivd 14194	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) ) = ( ( abs ` ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) ) / ( abs ` 2 ) ) )
88	62, 63	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. CC )
89	88, 70, 71	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. CC /\ ( 2 x. N ) =/= 0 /\ -u J e. ZZ ) )
90		absexpz 14045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ ( 2 x. N ) =/= 0 /\ -u J e. ZZ ) -> ( abs ` ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) ) = ( ( abs ` ( 2 x. N ) ) ^ -u J ) )
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) ) = ( ( abs ` ( 2 x. N ) ) ^ -u J ) )
92	62, 63	absmuld 14193	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 x. N ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` N ) ) )
93		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
94	28, 93	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 )
95		absid 14036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` 2 ) = 2
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` 2 ) = 2 )
98	48, 31, 66	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ N )
99	31, 98	absidd 14161	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` N ) = N )
100	97, 99	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` 2 ) x. ( abs ` N ) ) = ( 2 x. N ) )
101	92, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( 2 x. N ) ) = ( 2 x. N ) )
102	101	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` ( 2 x. N ) ) ^ -u J ) = ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) )
103	91, 102	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) )
104	103, 97	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) ) / ( abs ` 2 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) )
105	87, 104	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) )
106	85, 105	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( B - A ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) )
107	35	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) e. CC )
108	52	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) =/= 1 )
109	107, 108, 6	geoser 14599	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) = ( ( 1 - ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) ) / ( 1 - ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ) ) )
110	107, 6	expcld 13008	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) e. CC )
111	108	necomd 2849	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 =/= ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) )
112	79, 110, 79, 107, 111	div2subd 10851	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 - ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) ) / ( 1 - ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) - 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) )
113	109, 112	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) - 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) )
114	106, 113	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( B - A ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) - 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) )
115	113, 40	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) - 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) e. RR )
116	35, 6	reexpcld 13025	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) e. RR )
117	116, 47, 57	redivcld 10853	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) e. RR )
118		2rp 11837	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
119	118	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
120	119	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < 2 )
121	29, 31, 120, 66	mulgt0d 10192	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < ( 2 x. N ) )
122	32, 71, 121	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ -u J e. ZZ /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
123		expgt0 12893	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ -u J e. ZZ /\ 0 < ( 2 x. N ) ) -> 0 < ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) )
124	122, 123	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) )
125	48, 72, 124	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) )
126	72, 119, 125	divge0d 11912	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) )
127	116, 46	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) - 1 ) e. RR )
128	47, 54	elrpd 11869	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) e. RR+ )
129	116	lem1d 10957	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) - 1 ) <_ ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) )
130	127, 116, 128, 129	lediv1dd 11930	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) - 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) <_ ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) )
131	115, 117, 73, 126, 130	lemul2ad 10964	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) - 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) <_ ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) )
132	47	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) e. CC )
133	110, 132, 57	divrecd 10804	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) )
134	133	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) )
135	58	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) e. CC )
136	74, 110, 135	mulassd 10063	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) )
137	136	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) )
138	86, 110, 62, 44	div23d 10838	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) ) / 2 ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) ) )
139	138	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) ) / 2 ) )
140	88, 70	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. CC /\ ( 2 x. N ) =/= 0 ) )
141	34	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( abs ` C ) e. CC )
142	12, 5, 51	knoppndvlem13 32515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C =/= 0 )
143	33, 142	absne0d 14186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( abs ` C ) =/= 0 )
144	141, 143	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) e. CC /\ ( abs ` C ) =/= 0 ) )
145	140, 144, 7	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ ( 2 x. N ) =/= 0 ) /\ ( ( abs ` C ) e. CC /\ ( abs ` C ) =/= 0 ) /\ J e. ZZ ) )
146		mulexpz 12900	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ ( 2 x. N ) =/= 0 ) /\ ( ( abs ` C ) e. CC /\ ( abs ` C ) =/= 0 ) /\ J e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ J ) x. ( ( abs ` C ) ^ J ) ) )
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ J ) x. ( ( abs ` C ) ^ J ) ) )
148	147	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( ( 2 x. N ) ^ J ) x. ( ( abs ` C ) ^ J ) ) ) )
149	88, 6	expcld 13008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ J ) e. CC )
150	42	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` C ) ^ J ) e. CC )
151	86, 149, 150	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( 2 x. N ) ^ J ) ) x. ( ( abs ` C ) ^ J ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( ( 2 x. N ) ^ J ) x. ( ( abs ` C ) ^ J ) ) ) )
152	151	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( ( 2 x. N ) ^ J ) x. ( ( abs ` C ) ^ J ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( 2 x. N ) ^ J ) ) x. ( ( abs ` C ) ^ J ) ) )
153	140, 71, 7	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ ( 2 x. N ) =/= 0 ) /\ ( -u J e. ZZ /\ J e. ZZ ) ) )
154		expaddz 12904	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ ( 2 x. N ) =/= 0 ) /\ ( -u J e. ZZ /\ J e. ZZ ) ) -> ( ( 2 x. N ) ^ ( -u J + J ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( 2 x. N ) ^ J ) ) )
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ ( -u J + J ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( 2 x. N ) ^ J ) ) )
156	155	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( 2 x. N ) ^ J ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ ( -u J + J ) ) )
157	71	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -u J e. CC )
158	6	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J e. CC )
159	157, 158	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( -u J + J ) = ( J + -u J ) )
160	158	negidd 10382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( J + -u J ) = 0 )
161	159, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( -u J + J ) = 0 )
162	161	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ ( -u J + J ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) )
163	88	exp0d 13002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) = 1 )
164	156, 162, 163	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( 2 x. N ) ^ J ) ) = 1 )
165	164	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( 2 x. N ) ^ J ) ) x. ( ( abs ` C ) ^ J ) ) = ( 1 x. ( ( abs ` C ) ^ J ) ) )
166	150	mulid2d 10058	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( abs ` C ) ^ J ) ) = ( ( abs ` C ) ^ J ) )
167	165, 166	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( 2 x. N ) ^ J ) ) x. ( ( abs ` C ) ^ J ) ) = ( ( abs ` C ) ^ J ) )
168	148, 152, 167	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) ) = ( ( abs ` C ) ^ J ) )
169	168	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) ) / 2 ) = ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) )
170	139, 169	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) ) = ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) )
171	170	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) )
172	134, 137, 171	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) )
173	131, 172	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) ^ -u J ) / 2 ) x. ( ( ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ J ) - 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) )
174	114, 173	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( B - A ) ) x. sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) ^ i ) ) <_ ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) )
175	23, 41, 59, 60, 174	letrd 10194	1 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` B ) ` i ) - sum_ i e. ( 0 ... ( J - 1 ) ) ( ( F ` A ) ` i ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` C ) ^ J ) / 2 ) x. ( 1 / ( ( ( 2 x. N ) x. ( abs ` C ) ) - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   abscabs 13974   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  32517