Theorem lbsextlem2 19159

Description: Lemma for lbsext 19163. Since A is a chain (actually, we only need it to be closed under binary union), the union T of the spans of each individual element of A is a subspace, and it contains all of U. A (except for our target vector x- we are trying to make x a linear combination of all the other vectors in some set from A). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbsext.v	|- V = ( Base ` W )
lbsext.j	|- J = (LBasis ` W )
lbsext.n	|- N = ( LSpan ` W )
lbsext.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lbsext.c	|- ( ph -> C C_ V )
lbsext.x	|- ( ph -> A. x e. C -. x e. ( N ` ( C \ { x } ) ) )
lbsext.s	|- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
lbsext.p	|- P = ( LSubSp ` W )
lbsext.a	|- ( ph -> A C_ S )
lbsext.z	|- ( ph -> A =/= (/) )
lbsext.r	|- ( ph -> [ C.] Or A )
lbsext.t	|- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )

Assertion

Ref	Expression
lbsextlem2	|- ( ph -> ( T e. P /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, u, ph   u, S, x   x, z, C   z, u, N, x   u, V, x, z   u, W, x   u, A, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( u)   P( x, z, u)   S( z)   T( x, z, u)   J( z, u)   W( z)

Proof of Theorem lbsextlem2

Dummy variables m n r v w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> (Scalar ` W ) = (Scalar ` W ) )
2		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
3		lbsext.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> V = ( Base ` W ) )
5		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` W ) = ( +g ` W ) )
6		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( .s ` W ) = ( .s ` W ) )
7		lbsext.p	. . . 4 |- P = ( LSubSp ` W )
8	7	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> P = ( LSubSp ` W ) )
9		lbsext.t	. . . 4 |- T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) )
10		lbsext.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. LVec )
11		lveclmod 19106	. . . . . . . 8 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
13		lbsext.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ S )
14		lbsext.s	. . . . . . . . . . . 12 |- S = { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) }
15		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . 12 |- { z e. ~P V | ( C C_ z /\ A. x e. z -. x e. ( N ` ( z \ { x } ) ) ) } C_ ~P V
16	14, 15	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . 11 |- S C_ ~P V
17	13, 16	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ ~P V )
18	17	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> u e. ~P V )
19	18	elpwid 4170	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> u C_ V )
20	19	ssdifssd 3748	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( u \ { x } ) C_ V )
21		lbsext.n	. . . . . . . 8 |- N = ( LSpan ` W )
22	3, 21	lspssv 18983	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ ( u \ { x } ) C_ V ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
23	12, 20, 22	syl2an2r 876	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
24	23	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
25		iunss 4561	. . . . 5 |- ( U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V <-> A. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
26	24, 25	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) C_ V )
27	9, 26	syl5eqss 3649	. . 3 |- ( ph -> T C_ V )
28	9	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> T = U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
29		lbsext.z	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= (/) )
30	3, 7, 21	lspcl 18976	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( u \ { x } ) C_ V ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) e. P )
31	12, 20, 30	syl2an2r 876	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) e. P )
32	7	lssn0 18941	. . . . . . . 8 |- ( ( N ` ( u \ { x } ) ) e. P -> ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
34	33	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
35		r19.2z 4060	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ A. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) ) -> E. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
36	29, 34, 35	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> E. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
37		iunn0 4580	. . . . 5 |- ( E. u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) <-> U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
38	36, 37	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) =/= (/) )
39	28, 38	eqnetrd 2861	. . 3 |- ( ph -> T =/= (/) )
40	9	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( v e. T <-> v e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
41		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( v e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A v e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
42		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = m -> ( u \ { x } ) = ( m \ { x } ) )
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = m -> ( N ` ( u \ { x } ) ) = ( N ` ( m \ { x } ) ) )
44	43	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( u = m -> ( v e. ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) ) )
45	44	cbvrexv 3172	. . . . . . . . 9 |- ( E. u e. A v e. ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. m e. A v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) )
46	40, 41, 45	3bitri 286	. . . . . . . 8 |- ( v e. T <-> E. m e. A v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) )
47	9	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( w e. T <-> w e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
48		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( w e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A w e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
49		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = n -> ( u \ { x } ) = ( n \ { x } ) )
50	49	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = n -> ( N ` ( u \ { x } ) ) = ( N ` ( n \ { x } ) ) )
51	50	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( u = n -> ( w e. ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) )
52	51	cbvrexv 3172	. . . . . . . . 9 |- ( E. u e. A w e. ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. n e. A w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) )
53	47, 48, 52	3bitri 286	. . . . . . . 8 |- ( w e. T <-> E. n e. A w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) )
54	46, 53	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( v e. T /\ w e. T ) <-> ( E. m e. A v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ E. n e. A w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) )
55		reeanv 3107	. . . . . . 7 |- ( E. m e. A E. n e. A ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) <-> ( E. m e. A v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ E. n e. A w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) )
56	54, 55	bitr4i 267	. . . . . 6 |- ( ( v e. T /\ w e. T ) <-> E. m e. A E. n e. A ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) )
57		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ph )
58		lbsext.r	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> [ C.] Or A )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> [ C.] Or A )
60		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m e. A /\ n e. A ) )
61		sorpssun 6944	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( m e. A /\ n e. A ) ) -> ( m u. n ) e. A )
62	59, 60, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m u. n ) e. A )
63	57, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> W e. LMod )
64		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m u. n ) e. A -> ( m u. n ) C_ U. A )
65	62, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m u. n ) C_ U. A )
66		sspwuni 4611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ ~P V <-> U. A C_ V )
67	17, 66	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> U. A C_ V )
68	57, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> U. A C_ V )
69	65, 68	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m u. n ) C_ V )
70	69	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( ( m u. n ) \ { x } ) C_ V )
71	3, 7, 21	lspcl 18976	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( m u. n ) \ { x } ) C_ V ) -> ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) e. P )
72	63, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) e. P )
73		simp1r 1086	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
74		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- m C_ ( m u. n )
75		ssdif 3745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m C_ ( m u. n ) -> ( m \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) )
76	74, 75	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( m \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) )
77	3, 21	lspss 18984	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( m u. n ) \ { x } ) C_ V /\ ( m \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) ) -> ( N ` ( m \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
78	63, 70, 76, 77	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( N ` ( m \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
79		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) )
80	78, 79	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> v e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
81		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- n C_ ( m u. n )
82		ssdif 3745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n C_ ( m u. n ) -> ( n \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) )
83	81, 82	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( n \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) )
84	3, 21	lspss 18984	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( m u. n ) \ { x } ) C_ V /\ ( n \ { x } ) C_ ( ( m u. n ) \ { x } ) ) -> ( N ` ( n \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
85	63, 70, 83, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( N ` ( n \ { x } ) ) C_ ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
86		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) )
87	85, 86	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> w e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
89		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
90		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
91		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
92	88, 89, 90, 91, 7	lsscl 18943	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) e. P /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ v e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
93	72, 73, 80, 87, 92	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
94		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( m u. n ) -> ( u \ { x } ) = ( ( m u. n ) \ { x } ) )
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( m u. n ) -> ( N ` ( u \ { x } ) ) = ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) )
96	95	eliuni 4526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m u. n ) e. A /\ ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. ( N ` ( ( m u. n ) \ { x } ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
97	62, 93, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
98	97, 9	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) /\ ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T )
99	98	3expia 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( m e. A /\ n e. A ) ) -> ( ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T ) )
100	99	rexlimdvva 3038	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( E. m e. A E. n e. A ( v e. ( N ` ( m \ { x } ) ) /\ w e. ( N ` ( n \ { x } ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T ) )
101	56, 100	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( v e. T /\ w e. T ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T ) )
102	101	exp4b 632	. . . 4 |- ( ph -> ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) -> ( v e. T -> ( w e. T -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T ) ) ) )
103	102	3imp2 1282	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ v e. T /\ w e. T ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) v ) ( +g ` W ) w ) e. T )
104	1, 2, 4, 5, 6, 8, 27, 39, 103	islssd 18936	. 2 |- ( ph -> T e. P )
105		eldifi 3732	. . . . . . 7 |- ( y e. ( U. A \ { x } ) -> y e. U. A )
106	105	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) -> y e. U. A )
107		eldifn 3733	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( U. A \ { x } ) -> -. y e. { x } )
108	107	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> -. y e. { x } )
109		eldif 3584	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( u \ { x } ) <-> ( y e. u /\ -. y e. { x } ) )
110	3, 21	lspssid 18985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ ( u \ { x } ) C_ V ) -> ( u \ { x } ) C_ ( N ` ( u \ { x } ) ) )
111	12, 20, 110	syl2an2r 876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> ( u \ { x } ) C_ ( N ` ( u \ { x } ) ) )
112	111	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> ( u \ { x } ) C_ ( N ` ( u \ { x } ) ) )
113	112	sseld 3602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> ( y e. ( u \ { x } ) -> y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
114	109, 113	syl5bir 233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> ( ( y e. u /\ -. y e. { x } ) -> y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
115	108, 114	mpan2d 710	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) /\ u e. A ) -> ( y e. u -> y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
116	115	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) -> ( E. u e. A y e. u -> E. u e. A y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
117		eluni2 4440	. . . . . . 7 |- ( y e. U. A <-> E. u e. A y e. u )
118		eliun 4524	. . . . . . 7 |- ( y e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) <-> E. u e. A y e. ( N ` ( u \ { x } ) ) )
119	116, 117, 118	3imtr4g 285	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) -> ( y e. U. A -> y e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
120	106, 119	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( U. A \ { x } ) ) -> y e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
121	120	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( U. A \ { x } ) -> y e. U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) ) )
122	121	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ph -> ( U. A \ { x } ) C_ U_ u e. A ( N ` ( u \ { x } ) ) )
123	122, 9	syl6sseqr 3652	. 2 |- ( ph -> ( U. A \ { x } ) C_ T )
124	104, 123	jca 554	1 |- ( ph -> ( T e. P /\ ( U. A \ { x } ) C_ T ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   Or wor 5034   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   [ C.] crpss 6936   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971  LBasisclbs 19074   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  lbsextlem3  19160