Theorem lcfl9a 36794

Description: Property implying that a functional has a closed kernel. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl9a.h	|- H = ( LHyp ` K )
lcfl9a.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
lcfl9a.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
lcfl9a.v	|- V = ( Base ` U )
lcfl9a.f	|- F = (LFnl ` U )
lcfl9a.l	|- L = (LKer ` U )
lcfl9a.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
lcfl9a.g	|- ( ph -> G e. F )
lcfl9a.x	|- ( ph -> X e. V )
lcfl9a.s	|- ( ph -> ( ._|_ ` { X } ) C_ ( L ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
lcfl9a	|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) )

Proof of Theorem lcfl9a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl9a.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
2		lcfl9a.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3		lcfl9a.o	. . . . 5 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
4		lcfl9a.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` U )
5		lcfl9a.k	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	dochoc1 36650	. . . 4 |- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` V ) ) = V )
7	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ X = ( 0g ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` V ) ) = V )
8		lcfl9a.f	. . . . . . . 8 |- F = (LFnl ` U )
9		lcfl9a.l	. . . . . . . 8 |- L = (LKer ` U )
10	1, 2, 5	dvhlmod 36399	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. LMod )
11		lcfl9a.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. F )
12	4, 8, 9, 10, 11	lkrssv 34383	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L ` G ) C_ V )
13	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = ( 0g ` U ) ) -> ( L ` G ) C_ V )
14		sneq 4187	. . . . . . . . 9 |- ( X = ( 0g ` U ) -> { X } = { ( 0g ` U ) } )
15	14	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( X = ( 0g ` U ) -> ( ._|_ ` { X } ) = ( ._|_ ` { ( 0g ` U ) } ) )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` U ) = ( 0g ` U )
17	1, 2, 3, 4, 16	doch0 36647	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ._|_ ` { ( 0g ` U ) } ) = V )
18	5, 17	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ._|_ ` { ( 0g ` U ) } ) = V )
19	15, 18	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X = ( 0g ` U ) ) -> ( ._|_ ` { X } ) = V )
20		lcfl9a.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ._|_ ` { X } ) C_ ( L ` G ) )
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X = ( 0g ` U ) ) -> ( ._|_ ` { X } ) C_ ( L ` G ) )
22	19, 21	eqsstr3d 3640	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = ( 0g ` U ) ) -> V C_ ( L ` G ) )
23	13, 22	eqssd 3620	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = ( 0g ` U ) ) -> ( L ` G ) = V )
24	23	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = ( 0g ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( L ` G ) ) = ( ._|_ ` V ) )
25	24	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ph /\ X = ( 0g ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` V ) ) )
26	7, 25, 23	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ X = ( 0g ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) )
27	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( L ` G ) = V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` V ) ) = V )
28		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( L ` G ) = V ) -> ( L ` G ) = V )
29	28	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( L ` G ) = V ) -> ( ._|_ ` ( L ` G ) ) = ( ._|_ ` V ) )
30	29	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ph /\ ( L ` G ) = V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` V ) ) )
31	27, 30, 28	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ ( L ` G ) = V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) )
32		lcfl9a.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
33	32	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ph -> { X } C_ V )
34		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ( DIsoH ` K ) ` W ) = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
35	1, 34, 2, 4, 3	dochcl 36642	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ { X } C_ V ) -> ( ._|_ ` { X } ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) )
36	5, 33, 35	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ._|_ ` { X } ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) )
37	1, 34, 3	dochoc 36656	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` { X } ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` { X } ) ) ) = ( ._|_ ` { X } ) )
38	5, 36, 37	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` { X } ) ) ) = ( ._|_ ` { X } ) )
39	38	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` { X } ) ) ) = ( ._|_ ` { X } ) )
40	20	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> ( ._|_ ` { X } ) C_ ( L ` G ) )
41		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (LSHyp ` U ) = (LSHyp ` U )
42	1, 2, 5	dvhlvec 36398	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. LVec )
43	42	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> U e. LVec )
44	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
45	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> X e. V )
46		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> X =/= ( 0g ` U ) )
47		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( X e. ( V \ { ( 0g ` U ) } ) <-> ( X e. V /\ X =/= ( 0g ` U ) ) )
48	45, 46, 47	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> X e. ( V \ { ( 0g ` U ) } ) )
49	1, 3, 2, 4, 16, 41, 44, 48	dochsnshp 36742	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> ( ._|_ ` { X } ) e. (LSHyp ` U ) )
50		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> ( L ` G ) =/= V )
51	4, 41, 8, 9, 42, 11	lkrshp4 34395	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( L ` G ) =/= V <-> ( L ` G ) e. (LSHyp ` U ) ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> ( ( L ` G ) =/= V <-> ( L ` G ) e. (LSHyp ` U ) ) )
53	50, 52	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> ( L ` G ) e. (LSHyp ` U ) )
54	41, 43, 49, 53	lshpcmp 34275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> ( ( ._|_ ` { X } ) C_ ( L ` G ) <-> ( ._|_ ` { X } ) = ( L ` G ) ) )
55	40, 54	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> ( ._|_ ` { X } ) = ( L ` G ) )
56	55	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` { X } ) ) = ( ._|_ ` ( L ` G ) ) )
57	56	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` { X } ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
58	39, 57, 55	3eqtr3d 2664	. 2 |- ( ( ph /\ ( X =/= ( 0g ` U ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) )
59	26, 31, 58	pm2.61da2ne 2882	1 |- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   ran crn 5115   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   LVecclvec 19102  LSHypclsh 34262  LFnlclfn 34344  LKerclk 34372   HLchlt 34637   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367   DIsoHcdih 36517   ocHcoch 36636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684

This theorem is referenced by:  mapdsn  36930