Theorem limsup10exlem 40004

Description: The range of the given function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsup10exlem.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , 1 ) )
limsup10exlem.2	|- ( ph -> K e. RR )

Assertion

Ref	Expression
limsup10exlem	|- ( ph -> ( F " ( K [,) +oo ) ) = { 0 , 1 } )

Distinct variable groups:   n, K   ph, n

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem limsup10exlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10034	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
2	1	prid1 4297	. . . . . 6 |- 0 e. { 0 , 1 }
3		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
4	3	elexi 3213	. . . . . . 7 |- 1 e. _V
5	4	prid2 4298	. . . . . 6 |- 1 e. { 0 , 1 }
6	2, 5	ifcli 39329	. . . . 5 |- if ( 2 || n , 0 , 1 ) e. { 0 , 1 }
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( NN i^i ( K [,) +oo ) ) ) -> if ( 2 || n , 0 , 1 ) e. { 0 , 1 } )
8	7	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. n e. ( NN i^i ( K [,) +oo ) ) if ( 2 || n , 0 , 1 ) e. { 0 , 1 } )
9		nfv 1843	. . . 4 |- F/ n ph
10	1, 4	ifex 4156	. . . . 5 |- if ( 2 || n , 0 , 1 ) e. _V
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( NN i^i ( K [,) +oo ) ) ) -> if ( 2 || n , 0 , 1 ) e. _V )
12		limsup10exlem.1	. . . 4 |- F = ( n e. NN |-> if ( 2 || n , 0 , 1 ) )
13	9, 11, 12	imassmpt 39481	. . 3 |- ( ph -> ( ( F " ( K [,) +oo ) ) C_ { 0 , 1 } <-> A. n e. ( NN i^i ( K [,) +oo ) ) if ( 2 || n , 0 , 1 ) e. { 0 , 1 } ) )
14	8, 13	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( F " ( K [,) +oo ) ) C_ { 0 , 1 } )
15		limsup10exlem.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. RR )
16	15	ceilcld 39679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (⌈ ` K ) e. ZZ )
17		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
18	16, 17	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) e. ZZ )
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n = ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) ) -> if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) e. ZZ )
20		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n = ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) ) -> n = ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) )
21		2teven 15079	. . . . . . 7 |- ( ( if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) e. ZZ /\ n = ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) ) -> 2 || n )
22	19, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n = ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) ) -> 2 || n )
23	22	iftrued 4094	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n = ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) ) -> if ( 2 || n , 0 , 1 ) = 0 )
24		2nn 11185	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
25	24	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. NN )
26		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
27	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> 1 e. RR )
28	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> K e. RR )
29	16	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (⌈ ` K ) e. RR )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> (⌈ ` K ) e. RR )
31		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> 1 <_ K )
32	15	ceilged 39673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K <_ (⌈ ` K ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> K <_ (⌈ ` K ) )
34	27, 28, 30, 31, 33	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> 1 <_ (⌈ ` K ) )
35		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 <_ K -> if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) = (⌈ ` K ) )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) = (⌈ ` K ) )
37	34, 36	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> 1 <_ if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) )
38	3	leidi 10562	. . . . . . . . . . 11 |- 1 <_ 1
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. 1 <_ K ) -> 1 <_ 1 )
40		iffalse 4095	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. 1 <_ K -> if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) = 1 )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. 1 <_ K ) -> if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) = 1 )
42	39, 41	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. 1 <_ K ) -> 1 <_ if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) )
43	37, 42	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 <_ if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) )
44	26, 17, 18, 43	eluzd 39635	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
45		nnuz 11723	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
46	44, 45	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) e. NN )
47	25, 46	nnmulcld 11068	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) e. NN )
48	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. _V )
49	12, 23, 47, 48	fvmptd2 39445	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) ) = 0 )
50	10, 12	fnmpti 6022	. . . . . 6 |- F Fn NN
51	50	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> F Fn NN )
52	15	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. RR* )
53		pnfxr 10092	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
54	53	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> +oo e. RR* )
55	47	nnxrd 39201	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) e. RR* )
56	47	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) e. RR )
57	46	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) e. RR )
58	33, 36	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> K <_ if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) )
59	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. 1 <_ K ) -> K e. RR )
60	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. 1 <_ K ) -> 1 e. RR )
61		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 1 <_ K ) -> -. 1 <_ K )
62	59, 60, 61	nleltd 39681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. 1 <_ K ) -> K < 1 )
63	59, 60, 62	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. 1 <_ K ) -> K <_ 1 )
64	41	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. 1 <_ K ) -> 1 = if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) )
65	63, 64	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. 1 <_ K ) -> K <_ if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) )
66	58, 65	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K <_ if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) )
67	46	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) e. RR+ )
68		2timesgt 39500	. . . . . . . . 9 |- ( if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) e. RR+ -> if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) < ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) < ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) )
70	15, 57, 56, 66, 69	lelttrd 10195	. . . . . . 7 |- ( ph -> K < ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) )
71	15, 56, 70	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ph -> K <_ ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) )
72	56	ltpnfd 11955	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) < +oo )
73	52, 54, 55, 71, 72	elicod 12224	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) e. ( K [,) +oo ) )
74	51, 47, 73	fnfvima2 39478	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) ) e. ( F " ( K [,) +oo ) ) )
75	49, 74	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( F " ( K [,) +oo ) ) )
76	18	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n = ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) ) -> if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) e. ZZ )
77		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n = ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) ) -> n = ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) )
78		2tp1odd 15076	. . . . . . 7 |- ( ( if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) e. ZZ /\ n = ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) ) -> -. 2 || n )
79	76, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n = ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) ) -> -. 2 || n )
80	79	iffalsed 4097	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n = ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) ) -> if ( 2 || n , 0 , 1 ) = 1 )
81	47	peano2nnd 11037	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) e. NN )
82	3	rexri 10097	. . . . . 6 |- 1 e. RR*
83	82	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR* )
84	12, 80, 81, 83	fvmptd2 39445	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) ) = 1 )
85	81	nnxrd 39201	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) e. RR* )
86	81	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) e. RR )
87	56	ltp1d 10954	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) < ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) )
88	15, 56, 86, 70, 87	lttrd 10198	. . . . . . 7 |- ( ph -> K < ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) )
89	15, 86, 88	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ph -> K <_ ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) )
90	86	ltpnfd 11955	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) < +oo )
91	52, 54, 85, 89, 90	elicod 12224	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) e. ( K [,) +oo ) )
92	51, 81, 91	fnfvima2 39478	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( ( 2 x. if ( 1 <_ K , (⌈ ` K ) , 1 ) ) + 1 ) ) e. ( F " ( K [,) +oo ) ) )
93	84, 92	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ( F " ( K [,) +oo ) ) )
94	75, 93	prssd 4354	. 2 |- ( ph -> { 0 , 1 } C_ ( F " ( K [,) +oo ) ) )
95	14, 94	eqssd 3620	1 |- ( ph -> ( F " ( K [,) +oo ) ) = { 0 , 1 } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   "cima 5117   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177  ⌈cceil 12592   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  limsup10ex  40005  liminf10ex  40006