Theorem limsupre 39873

Description: If a sequence is bounded, then the limsup is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupre.1	|- ( ph -> B C_ RR )
limsupre.2	|- ( ph -> sup ( B , RR* , < ) = +oo )
limsupre.f	|- ( ph -> F : B --> RR )
limsupre.bnd	|- ( ph -> E. b e. RR E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) )

Assertion

Ref	Expression
limsupre	|- ( ph -> ( limsup ` F ) e. RR )

Distinct variable groups:   B, j, k   F, b, j, k   ph, b, j, k

Allowed substitution hint:   B( b)

Proof of Theorem limsupre

Dummy variables h i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 10096	. . . . 5 |- -oo e. RR*
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> -oo e. RR* )
3		renegcl 10344	. . . . . 6 |- ( b e. RR -> -u b e. RR )
4	3	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( b e. RR -> -u b e. RR* )
5	4	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> -u b e. RR* )
6		limsupre.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : B --> RR )
7		reex 10027	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR e. _V )
9		limsupre.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B C_ RR )
10	8, 9	ssexd 4805	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. _V )
11		fex 6490	. . . . . . 7 |- ( ( F : B --> RR /\ B e. _V ) -> F e. _V )
12	6, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. _V )
13		limsupcl 14204	. . . . . 6 |- ( F e. _V -> ( limsup ` F ) e. RR* )
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( limsup ` F ) e. RR* )
15	14	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> ( limsup ` F ) e. RR* )
16	3	mnfltd 11958	. . . . 5 |- ( b e. RR -> -oo < -u b )
17	16	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> -oo < -u b )
18	9	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> B C_ RR )
19		ressxr 10083	. . . . . . . 8 |- RR C_ RR*
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR C_ RR* )
21	6, 20	fssd 6057	. . . . . 6 |- ( ph -> F : B --> RR* )
22	21	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> F : B --> RR* )
23		limsupre.2	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( B , RR* , < ) = +oo )
24	23	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> sup ( B , RR* , < ) = +oo )
25		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) )
26		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ph /\ b e. RR )
27		nfre1 3005	. . . . . . . . 9 |- F/ k E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b )
28	26, 27	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) )
29		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( ph /\ b e. RR )
30		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j k e. RR
31		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b )
32	29, 30, 31	nf3an 1831	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) )
33		simp13 1093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) /\ j e. B /\ k <_ j ) -> A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) )
34		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) /\ j e. B /\ k <_ j ) -> j e. B )
35		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) /\ j e. B /\ k <_ j ) -> k <_ j )
36		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) /\ j e. B ) -> ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) )
37	36	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) /\ j e. B ) /\ k <_ j ) -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b )
38	33, 34, 35, 37	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) /\ j e. B /\ k <_ j ) -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b )
39		simp11l 1172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) /\ j e. B /\ k <_ j ) -> ph )
40	6	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. B ) -> ( F ` j ) e. RR )
41	39, 34, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) /\ j e. B /\ k <_ j ) -> ( F ` j ) e. RR )
42		simp11r 1173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) /\ j e. B /\ k <_ j ) -> b e. RR )
43	41, 42	absled 14169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) /\ j e. B /\ k <_ j ) -> ( ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b <-> ( -u b <_ ( F ` j ) /\ ( F ` j ) <_ b ) ) )
44	38, 43	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) /\ j e. B /\ k <_ j ) -> ( -u b <_ ( F ` j ) /\ ( F ` j ) <_ b ) )
45	44	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) /\ j e. B /\ k <_ j ) -> -u b <_ ( F ` j ) )
46	45	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> ( j e. B -> ( k <_ j -> -u b <_ ( F ` j ) ) ) )
47	32, 46	ralrimi 2957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> A. j e. B ( k <_ j -> -u b <_ ( F ` j ) ) )
48	47	3exp 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. RR ) -> ( k e. RR -> ( A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) -> A. j e. B ( k <_ j -> -u b <_ ( F ` j ) ) ) ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> ( k e. RR -> ( A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) -> A. j e. B ( k <_ j -> -u b <_ ( F ` j ) ) ) ) )
50	28, 49	reximdai 3012	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> ( E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) -> E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> -u b <_ ( F ` j ) ) ) )
51	25, 50	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> -u b <_ ( F ` j ) ) )
52		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( h <_ i <-> h <_ j ) )
53		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( F ` i ) = ( F ` j ) )
54	53	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( -u b <_ ( F ` i ) <-> -u b <_ ( F ` j ) ) )
55	52, 54	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( h <_ i -> -u b <_ ( F ` i ) ) <-> ( h <_ j -> -u b <_ ( F ` j ) ) ) )
56	55	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. B ( h <_ i -> -u b <_ ( F ` i ) ) <-> A. j e. B ( h <_ j -> -u b <_ ( F ` j ) ) )
57		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( h = k -> ( h <_ j <-> k <_ j ) )
58	57	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( h = k -> ( ( h <_ j -> -u b <_ ( F ` j ) ) <-> ( k <_ j -> -u b <_ ( F ` j ) ) ) )
59	58	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( h = k -> ( A. j e. B ( h <_ j -> -u b <_ ( F ` j ) ) <-> A. j e. B ( k <_ j -> -u b <_ ( F ` j ) ) ) )
60	56, 59	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( h = k -> ( A. i e. B ( h <_ i -> -u b <_ ( F ` i ) ) <-> A. j e. B ( k <_ j -> -u b <_ ( F ` j ) ) ) )
61	60	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. h e. RR A. i e. B ( h <_ i -> -u b <_ ( F ` i ) ) <-> E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> -u b <_ ( F ` j ) ) )
62	51, 61	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> E. h e. RR A. i e. B ( h <_ i -> -u b <_ ( F ` i ) ) )
63	18, 22, 5, 24, 62	limsupbnd2 14214	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> -u b <_ ( limsup ` F ) )
64	2, 5, 15, 17, 63	xrltletrd 11992	. . 3 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> -oo < ( limsup ` F ) )
65		limsupre.bnd	. . 3 |- ( ph -> E. b e. RR E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) )
66	64, 65	r19.29a 3078	. 2 |- ( ph -> -oo < ( limsup ` F ) )
67		rexr 10085	. . . . 5 |- ( b e. RR -> b e. RR* )
68	67	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> b e. RR* )
69		pnfxr 10092	. . . . 5 |- +oo e. RR*
70	69	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> +oo e. RR* )
71	44	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) /\ j e. B /\ k <_ j ) -> ( F ` j ) <_ b )
72	71	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> ( j e. B -> ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ b ) ) )
73	32, 72	ralrimi 2957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ k e. RR /\ A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> A. j e. B ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ b ) )
74	73	3exp 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. RR ) -> ( k e. RR -> ( A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) -> A. j e. B ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ b ) ) ) )
75	74	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> ( k e. RR -> ( A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) -> A. j e. B ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ b ) ) ) )
76	28, 75	reximdai 3012	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> ( E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) -> E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ b ) ) )
77	25, 76	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ b ) )
78	53	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( ( F ` i ) <_ b <-> ( F ` j ) <_ b ) )
79	52, 78	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( h <_ i -> ( F ` i ) <_ b ) <-> ( h <_ j -> ( F ` j ) <_ b ) ) )
80	79	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. B ( h <_ i -> ( F ` i ) <_ b ) <-> A. j e. B ( h <_ j -> ( F ` j ) <_ b ) )
81	57	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( h = k -> ( ( h <_ j -> ( F ` j ) <_ b ) <-> ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ b ) ) )
82	81	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( h = k -> ( A. j e. B ( h <_ j -> ( F ` j ) <_ b ) <-> A. j e. B ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ b ) ) )
83	80, 82	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( h = k -> ( A. i e. B ( h <_ i -> ( F ` i ) <_ b ) <-> A. j e. B ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ b ) ) )
84	83	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. h e. RR A. i e. B ( h <_ i -> ( F ` i ) <_ b ) <-> E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ b ) )
85	77, 84	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> E. h e. RR A. i e. B ( h <_ i -> ( F ` i ) <_ b ) )
86	18, 22, 68, 85	limsupbnd1 14213	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> ( limsup ` F ) <_ b )
87		ltpnf 11954	. . . . 5 |- ( b e. RR -> b < +oo )
88	87	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> b < +oo )
89	15, 68, 70, 86, 88	xrlelttrd 11991	. . 3 |- ( ( ( ph /\ b e. RR ) /\ E. k e. RR A. j e. B ( k <_ j -> ( abs ` ( F ` j ) ) <_ b ) ) -> ( limsup ` F ) < +oo )
90	89, 65	r19.29a 3078	. 2 |- ( ph -> ( limsup ` F ) < +oo )
91		xrrebnd 11999	. . 3 |- ( ( limsup ` F ) e. RR* -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( -oo < ( limsup ` F ) /\ ( limsup ` F ) < +oo ) ) )
92	14, 91	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( -oo < ( limsup ` F ) /\ ( limsup ` F ) < +oo ) ) )
93	66, 90, 92	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( limsup ` F ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   abscabs 13974   limsupclsp 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202

This theorem is referenced by:  limsupref  39917  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149