Theorem limcresiooub 39874

Description: The left limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcresiooub.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
limcresiooub.b	|- ( ph -> B e. RR* )
limcresiooub.c	|- ( ph -> C e. RR )
limcresiooub.bltc	|- ( ph -> B < C )
limcresiooub.bcss	|- ( ph -> ( B (,) C ) C_ A )
limcresiooub.d	|- ( ph -> D e. RR* )
limcresiooub.cled	|- ( ph -> D <_ B )

Assertion

Ref	Expression
limcresiooub	|- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) lim CC C ) )

Proof of Theorem limcresiooub

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcresiooub.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR* )
2		limcresiooub.cled	. . . . . 6 |- ( ph -> D <_ B )
3		iooss1 12210	. . . . . 6 |- ( ( D e. RR* /\ D <_ B ) -> ( B (,) C ) C_ ( D (,) C ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( D (,) C ) )
5	4	resabs1d 5428	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) = ( F |` ( B (,) C ) ) )
6	5	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( B (,) C ) ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) )
7	6	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) )
8		limcresiooub.f	. . . 4 |- ( ph -> F : A --> CC )
9		fresin 6073	. . . 4 |- ( F : A --> CC -> ( F |` ( D (,) C ) ) : ( A i^i ( D (,) C ) ) --> CC )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( D (,) C ) ) : ( A i^i ( D (,) C ) ) --> CC )
11		limcresiooub.bcss	. . . 4 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ A )
12	11, 4	ssind 3837	. . 3 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( A i^i ( D (,) C ) ) )
13		inss2 3834	. . . . 5 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ ( D (,) C )
14		ioosscn 39716	. . . . 5 |- ( D (,) C ) C_ CC
15	13, 14	sstri 3612	. . . 4 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ CC
16	15	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ CC )
17		eqid 2622	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
18		eqid 2622	. . 3 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
19		limcresiooub.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR* )
20		limcresiooub.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. RR )
21	20	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> C e. RR* )
22		limcresiooub.bltc	. . . . 5 |- ( ph -> B < C )
23		ubioc1 12227	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B < C ) -> C e. ( B (,] C ) )
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> C e. ( B (,] C ) )
25		snunioo2 39731	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ B < C ) -> ( ( B (,) C ) u. { C } ) = ( B (,] C ) )
26	19, 21, 22, 25	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B (,) C ) u. { C } ) = ( B (,] C ) )
27	26	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( B (,] C ) ) )
28	17	cnfldtop 22587	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
29		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( D (,) C ) e. _V
30	29	inex2 4800	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) e. _V
31		snex 4908	. . . . . . . . 9 |- { C } e. _V
32	30, 31	unex 6956	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V
33		resttop 20964	. . . . . . . 8 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V ) -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top )
34	28, 32, 33	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top )
36		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e. RR*
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> +oo e. RR* )
38		xrleid 11983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR* -> B <_ B )
39	19, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B <_ B )
40	20	ltpnfd 11955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C < +oo )
41		iocssioo 12263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( B <_ B /\ C < +oo ) ) -> ( B (,] C ) C_ ( B (,) +oo ) )
42	19, 37, 39, 40, 41	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ ( B (,) +oo ) )
43		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x = C ) -> x = C )
44		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( C e. RR -> C e. { C } )
45		elun2 3781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( C e. { C } -> C e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
46	20, 44, 45	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x = C ) -> C e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
48	43, 47	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x = C ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
49	48	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ x = C ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
50		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> ph )
51	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> B e. RR* )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> B e. RR* )
53	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> C e. RR* )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> C e. RR* )
55		iocssre 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR ) -> ( B (,] C ) C_ RR )
56	19, 20, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ RR )
57	56	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x e. RR )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x e. RR )
59		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x e. ( B (,] C ) )
60		iocgtlb 39724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( B (,] C ) ) -> B < x )
61	51, 53, 59, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> B < x )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> B < x )
63	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> C e. RR )
64		iocleub 39725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x <_ C )
65	51, 53, 59, 64	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x <_ C )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x <_ C )
67		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. x = C -> x =/= C )
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x =/= C )
69	68	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> C =/= x )
70	58, 63, 66, 69	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x < C )
71	52, 54, 58, 62, 70	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,) C ) )
72	12	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) )
73		elun1 3780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
75	50, 71, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
76	49, 75	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,] C ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
77	76	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. ( B (,] C ) x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
78		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B (,] C ) C_ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) <-> A. x e. ( B (,] C ) x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
79	77, 78	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
80	42, 79	ssind 3837	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B (,] C ) C_ ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
81	80	sseld 3602	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( B (,] C ) -> x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) )
82	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x = C ) -> C e. ( B (,] C ) )
83	43, 82	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x = C ) -> x e. ( B (,] C ) )
84	83	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ x = C ) -> x e. ( B (,] C ) )
85		ioossioc 39713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B (,) C ) C_ ( B (,] C )
86	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> B e. RR* )
87	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> C e. RR* )
88		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. ( B (,) +oo ) )
89	88	elioored 39776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. RR )
90	89	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. RR )
91	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> +oo e. RR* )
92	88	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,) +oo ) )
93		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR* /\ +oo e. RR* /\ x e. ( B (,) +oo ) ) -> B < x )
94	86, 91, 92, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> B < x )
95	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> D e. RR* )
96		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
97		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. x = C -> -. x = C )
98		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. { C } <-> x = C )
99	97, 98	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. x = C -> -. x e. { C } )
100		elunnel2 39198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) /\ -. x e. { C } ) -> x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) )
101	96, 99, 100	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( A i^i ( D (,) C ) ) )
102	13, 101	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( D (,) C ) )
103	102	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( D (,) C ) )
104		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. RR* /\ C e. RR* /\ x e. ( D (,) C ) ) -> x < C )
105	95, 87, 103, 104	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x < C )
106	86, 87, 90, 94, 105	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,) C ) )
107	85, 106	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) /\ -. x = C ) -> x e. ( B (,] C ) )
108	84, 107	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) -> x e. ( B (,] C ) )
109	108	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) -> x e. ( B (,] C ) ) )
110	81, 109	impbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( B (,] C ) <-> x e. ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) )
111	110	eqrdv 2620	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B (,] C ) = ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
112		retop 22565	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
113	112	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( topGen ` ran (,) ) e. Top )
114	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V )
115		iooretop 22569	. . . . . . . . . 10 |- ( B (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) )
116	115	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
117		elrestr 16089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) e. _V /\ ( B (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
118	113, 114, 116, 117	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B (,) +oo ) i^i ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
119	111, 118	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B (,] C ) e. ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
120	17	tgioo2 22606	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
121	120	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) )
122	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
123		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D (,) C ) C_ RR
124	13, 123	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ RR
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A i^i ( D (,) C ) ) C_ RR )
126	20	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { C } C_ RR )
127	125, 126	unssd 3789	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) C_ RR )
128		reex 10027	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
129	128	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR e. _V )
130		restabs 20969	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) C_ RR /\ RR e. _V ) -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
131	122, 127, 129, 130	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
132	121, 131	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
133	119, 132	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B (,] C ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) )
134		isopn3i 20886	. . . . . 6 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) e. Top /\ ( B (,] C ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( B (,] C ) ) = ( B (,] C ) )
135	35, 133, 134	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( B (,] C ) ) = ( B (,] C ) )
136	27, 135	eqtr2d 2657	. . . 4 |- ( ph -> ( B (,] C ) = ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { C } ) ) )
137	24, 136	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( A i^i ( D (,) C ) ) u. { C } ) ) ) ` ( ( B (,) C ) u. { C } ) ) )
138	10, 12, 16, 17, 18, 137	limcres 23650	. 2 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( D (,) C ) ) |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) lim CC C ) )
139	7, 138	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( ( F |` ( B (,) C ) ) lim CC C ) = ( ( F |` ( D (,) C ) ) lim CC C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   intcnt 20821   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fouriersw  40448