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Description: If  lies on   , then  . Theorem
6.16 of
[Schwabhauser] p. 45.
(Contributed by Scott Fenton, 27-Oct-2013.)
(Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| lineelsb2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}
  
 Line Line Line |
is distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | simpl1 1064 |
. . . . . . . . 9
| |
| 2 | simpl3l 1116 |
. . . . . . . . 9
| |
| 3 | simpl21 1139 |
. . . . . . . . 9
| |
| 4 | simpl22 1140 |
. . . . . . . . 9
| |
| 5 | brcolinear 32166 |
. . . . . . . . 9
      
| |
| 6 | 1, 2, 3, 4, 5 | syl13anc 1328 |
. . . . . . . 8
|
| 7 | 6 | biimpa 501 |
. . . . . . 7
|
| 8 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 9 | brcolinear 32166 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 10 | 1, 8, 3, 4, 9 | syl13anc 1328 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 11 | 10 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
|
| 12 | btwnconn3 32210 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 13 | 1, 3, 2, 8, 4, 12 | syl122anc 1335 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 14 | 13 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 15 | btwncolinear3 32178 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 16 | 1, 3, 8, 2, 15 | syl13anc 1328 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 17 | btwncolinear5 32180 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 18 | 1, 3, 2, 8, 17 | syl13anc 1328 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 19 | 16, 18 | jaod 395 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 20 | 19 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 21 | 14, 20 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 22 | 21 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 23 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 24 | 1, 2, 3, 4, 23 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 25 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 26 | 1, 4, 2, 3, 8, 24, 25 | btwnexch3and 32128 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 27 | btwncolinear4 32179 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 28 | 1, 2, 8, 3, 27 | syl13anc 1328 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 29 | 28 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 30 | 26, 29 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 31 | 30 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 32 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 33 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 34 | 1, 4, 8, 3, 33 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 35 | 1, 3, 2, 4, 8, 32, 34 | btwnexchand 32133 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 36 | 16 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 37 | 35, 36 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 38 | 37 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 39 | 22, 31, 38 | 3jaod 1392 |
. . . . . . . . . 10
|
| 40 | 11, 39 | sylbid 230 |
. . . . . . . . 9
|
| 41 | brcolinear 32166 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 42 | 1, 8, 3, 2, 41 | syl13anc 1328 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 43 | 42 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
|
| 44 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 45 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 46 | 1, 3, 8, 2, 4, 44, 45 | btwnexchand 32133 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 47 | btwncolinear5 32180 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 48 | 1, 3, 4, 8, 47 | syl13anc 1328 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 49 | 48 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 50 | 46, 49 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 51 | 50 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 52 | simpl3r 1117 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 53 | 52 | necomd 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 54 | 53 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 55 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 56 | 1, 2, 3, 4, 55 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 57 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 58 | btwnouttr2 32129 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 59 | 1, 4, 2, 3, 8, 58 | syl122anc 1335 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 60 | 59 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 61 | 54, 56, 57, 60 | mp3and 1427 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 62 | btwncolinear4 32179 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 63 | 1, 4, 8, 3, 62 | syl13anc 1328 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 64 | 63 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 65 | 61, 64 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 66 | 65 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 67 | 52 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 68 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 69 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 70 | 1, 2, 8, 3, 69 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 71 | btwnconn1 32208 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 72 | 1, 3, 2, 4, 8, 71 | syl122anc 1335 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 73 | 72 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 74 | 67, 68, 70, 73 | mp3and 1427 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 75 | btwncolinear3 32178 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 76 | 1, 3, 8, 4, 75 | syl13anc 1328 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 77 | 76, 48 | jaod 395 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 78 | 77 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 79 | 74, 78 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 80 | 79 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 81 | 51, 66, 80 | 3jaod 1392 |
. . . . . . . . . 10
|
| 82 | 43, 81 | sylbid 230 |
. . . . . . . . 9
|
| 83 | 40, 82 | impbid 202 |
. . . . . . . 8
|
| 84 | 10 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
|
| 85 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 86 | 1, 8, 3, 4, 85 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 87 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 88 | 1, 4, 8, 3, 2, 86, 87 | btwnexch3and 32128 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 89 | btwncolinear2 32177 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 90 | 1, 8, 2, 3, 89 | syl13anc 1328 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 91 | 90 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 92 | 88, 91 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 93 | 92 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 94 | simpl23 1141 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 95 | 94 | necomd 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 96 | 95 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 97 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 98 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 99 | btwnconn2 32209 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 100 | 1, 4, 3, 2, 8, 99 | syl122anc 1335 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 101 | 100 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 102 | 96, 97, 98, 101 | mp3and 1427 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 103 | 19 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 104 | 102, 103 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 105 | 104 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 106 | 94 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 107 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 108 | 1, 3, 4, 2, 107 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 109 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 110 | 1, 4, 8, 3, 109 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 111 | btwnouttr 32131 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 112 | 1, 2, 3, 4, 8, 111 | syl122anc 1335 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 113 | 112 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 114 | 106, 108, 110, 113 | mp3and 1427 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 115 | 28 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 116 | 114, 115 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 117 | 116 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 118 | 93, 105, 117 | 3jaod 1392 |
. . . . . . . . . 10
|
| 119 | 84, 118 | sylbid 230 |
. . . . . . . . 9
|
| 120 | 42 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
|
| 121 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 122 | 1, 8, 3, 2, 121 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 123 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 124 | 1, 3, 4, 2, 123 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 125 | 1, 2, 8, 3, 4, 122, 124 | btwnexch3and 32128 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 126 | btwncolinear2 32177 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 127 | 1, 8, 4, 3, 126 | syl13anc 1328 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 128 | 127 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 129 | 125, 128 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 130 | 129 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 131 | 53 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 132 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 133 | 1, 3, 4, 2, 132 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 134 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 135 | btwnconn2 32209 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 136 | 1, 2, 3, 4, 8, 135 | syl122anc 1335 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 137 | 136 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 138 | 131, 133, 134, 137 | mp3and 1427 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 139 | 77 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 140 | 138, 139 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 141 | 140 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 142 | 52 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 143 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 144 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 145 | 1, 2, 8, 3, 144 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 146 | btwnouttr 32131 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 147 | 1, 4, 3, 2, 8, 146 | syl122anc 1335 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 148 | 147 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 149 | 142, 143, 145, 148 | mp3and 1427 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 150 | 63 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 151 | 149, 150 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 152 | 151 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 153 | 130, 141, 152 | 3jaod 1392 |
. . . . . . . . . 10
|
| 154 | 120, 153 | sylbid 230 |
. . . . . . . . 9
|
| 155 | 119, 154 | impbid 202 |
. . . . . . . 8
|
| 156 | 10 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
|
| 157 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 158 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 159 | 1, 4, 2, 3, 158 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 160 | 1, 3, 8, 4, 2, 157, 159 | btwnexchand 32133 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 161 | 18 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 162 | 160, 161 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 163 | 162 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 164 | 95 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 165 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 166 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 167 | btwnouttr2 32129 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 168 | 1, 2, 4, 3, 8, 167 | syl122anc 1335 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 169 | 168 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 170 | 164, 165, 166, 169 | mp3and 1427 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 171 | 28 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 172 | 170, 171 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 173 | 172 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 174 | 94 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 175 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 176 | 1, 4, 2, 3, 175 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 177 | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 178 | 1, 4, 8, 3, 177 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 179 | btwnconn1 32208 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 180 | 1, 3, 4, 2, 8, 179 | syl122anc 1335 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 181 | 180 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 182 | 174, 176, 178, 181 | mp3and 1427 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 183 | 19 | adantr 481 |
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| 184 | 182, 183 | mpd 15 |
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| 185 | 184 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . 10
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| 187 | 156, 186 | sylbid 230 |
. . . . . . . . 9
|
| 188 | 42 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
|
| 189 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 190 | 1, 4, 2, 3, 189 | btwncomand 32122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
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| |
| 192 | btwnconn3 32210 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
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. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 194 | 193 | adantr 481 |
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|
| 195 | 190, 191, 194 | mp2and 715 |
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|
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| 197 | 195, 196 | mpd 15 |
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|
| 198 | 197 | expr 643 |
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|
| 199 | simprl 794 |
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| |
| 200 | simprr 796 |
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| |
| 201 | 1, 2, 4, 3, 8, 199, 200 | btwnexch3and 32128 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 202 | 63 | adantr 481 |
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|
| 203 | 201, 202 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 204 | 203 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 205 | simprl 794 |
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| |
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|
| 207 | simprr 796 |
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| |
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|
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. . . . . . . . . . . . 13
|
| 210 | 76 | adantr 481 |
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|
| 211 | 209, 210 | mpd 15 |
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|
| 212 | 211 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 213 | 198, 204, 212 | 3jaod 1392 |
. . . . . . . . . 10
|
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. . . . . . . . 9
|
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. . . . . . . 8
|
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|
| 217 | 7, 216 | syldan 487 |
. . . . . 6
|
| 218 | 217 | adantrl 752 |
. . . . 5
|
| 219 | 218 | an32s 846 |
. . . 4
|
| 220 | 219 | rabbidva 3188 |
. . 3
  
|
| 221 | 220 | ex 450 |
. 2
|
| 222 | fvline2 32253 |
. . . . 5
Line | |
| 223 | 222 | 3adant3 1081 |
. . . 4
Line |
| 224 | 223 | eleq2d 2687 |
. . 3
Line
|
| 225 | breq1 4656 |
. . . 4
| |
| 226 | 225 | elrab 3363 |
. . 3
|
| 227 | 224, 226 | syl6bb 276 |
. 2
Line
|
| 228 | simp1 1061 |
. . . 4
| |
| 229 | simp21 1094 |
. . . 4
| |
| 230 | simp3l 1089 |
. . . 4
| |
| 231 | simp3r 1090 |
. . . 4
| |
| 232 | fvline2 32253 |
. . . 4
Line | |
| 233 | 228, 229, 230, 231, 232 | syl13anc 1328 |
. . 3
Line |
| 234 | 223, 233 | eqeq12d 2637 |
. 2
Line Line
|
| 235 | 221, 227, 234 | 3imtr4d 283 |
1
Line Line Line |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wi 4
wb 196 wo 383 wa 384 w3o 1036 w3a 1037 wceq 1483 wcel 1990 wne 2794 crab 2916 cop 4183 class class class wbr 4653
cfv 5888
(class class class)co 6650 cn 11020 cee 25768 cbtwn 25769 ccolin 32144 Linecline2 32241 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-ec 7744 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-ee 25771 df-btwn 25772 df-cgr 25773 df-ofs 32090 df-colinear 32146 df-ifs 32147 df-cgr3 32148 df-fs 32149 df-line2 32244 |
| This theorem is referenced by: linethru 32260 |
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