Theorem lmdvg 29999

Description: If a monotonic sequence of real numbers diverges, it is unbounded. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmdvg.1	|- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
lmdvg.2	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
lmdvg.3	|- ( ph -> -. F e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
lmdvg	|- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, F   ph, j, k, x

Proof of Theorem lmdvg

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmdvg.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. F e. dom ~~> )
2		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> 1 e. ZZ )
4		lmdvg.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
5		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
6		fss 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> F : NN --> RR )
7	4, 5, 6	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F : NN --> RR )
9		lmdvg.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
10	9	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) )
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = l -> ( F ` k ) = ( F ` l ) )
12		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = l -> ( k + 1 ) = ( l + 1 ) )
13	12	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = l -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( l + 1 ) ) )
14	11, 13	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = l -> ( ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) <-> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) ) )
15	14	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. k e. NN ( F ` k ) <_ ( F ` ( k + 1 ) ) <-> A. l e. NN ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
16	10, 15	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. l e. NN ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
17	16	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ l e. NN ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
18	17	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) /\ l e. NN ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
19		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = l -> ( F ` j ) = ( F ` l ) )
21	20	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = l -> ( ( F ` j ) <_ x <-> ( F ` l ) <_ x ) )
22	21	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
23	22	rexbii 3041	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> E. x e. RR A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
24	19, 23	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> E. x e. RR A. l e. NN ( F ` l ) <_ x )
25	2, 3, 8, 18, 24	climsup 14400	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F ~~> sup ( ran F , RR , < ) )
26		nnex 11026	. . . . . . . . . . 11 |- NN e. _V
27		fex 6490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : NN --> ( 0 [,) +oo ) /\ NN e. _V ) -> F e. _V )
28	4, 26, 27	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. _V )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. _V )
30		ltso 10118	. . . . . . . . . . 11 |- < Or RR
31	30	supex 8369	. . . . . . . . . 10 |- sup ( ran F , RR , < ) e. _V
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> sup ( ran F , RR , < ) e. _V )
33		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F ~~> sup ( ran F , RR , < ) )
34		breldmg 5330	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. _V /\ sup ( ran F , RR , < ) e. _V /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. dom ~~> )
35	29, 32, 33, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F ~~> sup ( ran F , RR , < ) ) -> F e. dom ~~> )
36	25, 35	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) -> F e. dom ~~> )
37	1, 36	mtand 691	. . . . . 6 |- ( ph -> -. E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
38		ralnex 2992	. . . . . 6 |- ( A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x <-> -. E. x e. RR A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
39	37, 38	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
40		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> x e. RR )
41	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> F : NN --> RR )
42	41	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. RR )
43	40, 42	ltnled 10184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( x < ( F ` j ) <-> -. ( F ` j ) <_ x ) )
44	43	rexbidva 3049	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> E. j e. NN -. ( F ` j ) <_ x ) )
45		rexnal 2995	. . . . . . 7 |- ( E. j e. NN -. ( F ` j ) <_ x <-> -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x )
46	44, 45	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) )
47	46	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. RR E. j e. NN x < ( F ` j ) <-> A. x e. RR -. A. j e. NN ( F ` j ) <_ x ) )
48	39, 47	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN x < ( F ` j ) )
49	48	r19.21bi 2932	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. j e. NN x < ( F ` j ) )
50	40	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x e. RR )
51	42	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) e. RR )
52	41	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : NN --> RR )
53		uznnssnn 11735	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ZZ>= ` j ) C_ NN )
54	53	ad3antlr 767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ZZ>= ` j ) C_ NN )
55		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
56	54, 55	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
57	52, 56	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
58		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x < ( F ` j ) )
59		simp-4l 806	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
60		simpllr 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. NN )
61		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
62	7	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> F : NN --> RR )
63		fzssnn 12385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j ... k ) C_ NN )
64	63	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> ( j ... k ) C_ NN )
65		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> l e. ( j ... k ) )
66	64, 65	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> l e. NN )
67	62, 66	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... k ) ) -> ( F ` l ) e. RR )
68		simplll 798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ph )
69		fzssnn 12385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j ... ( k - 1 ) ) C_ NN )
70	69	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ( j ... ( k - 1 ) ) C_ NN )
71		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> l e. ( j ... ( k - 1 ) ) )
72	70, 71	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> l e. NN )
73	68, 72, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ l e. ( j ... ( k - 1 ) ) ) -> ( F ` l ) <_ ( F ` ( l + 1 ) ) )
74	61, 67, 73	monoord 12831	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) <_ ( F ` k ) )
75	59, 60, 55, 74	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` j ) <_ ( F ` k ) )
76	50, 51, 57, 58, 75	ltletrd 10197	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> x < ( F ` k ) )
77	76	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) /\ x < ( F ` j ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )
78	77	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. NN ) -> ( x < ( F ` j ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) ) )
79	78	reximdva 3017	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. NN x < ( F ` j ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) ) )
80	49, 79	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )
81	80	ralrimiva 2966	1 |- ( ph -> A. x e. RR E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) x < ( F ` k ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   [,)cico 12177   ...cfz 12326   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  lmdvglim  30000  esumcvg  30148