Theorem rabren3dioph 37379

Description: Change variable numbers in a 3-variable Diophantine class abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabren3dioph.a	|- ( ( ( a ` 1 ) = ( b ` X ) /\ ( a ` 2 ) = ( b ` Y ) /\ ( a ` 3 ) = ( b ` Z ) ) -> ( ph <-> ps ) )
rabren3dioph.b	|- X e. ( 1 ... N )
rabren3dioph.c	|- Y e. ( 1 ... N )
rabren3dioph.d	|- Z e. ( 1 ... N )

Assertion

Ref	Expression
rabren3dioph	|- ( ( N e. NN0 /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ph } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ps } e. (Dioph ` N ) )

Distinct variable groups:   ps, a   ph, b   X, a, b   Y, a, b   Z, a, b   N, a, b

Allowed substitution hints:   ph( a)   ps( b)

Proof of Theorem rabren3dioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . 6 |- b e. _V
2		tpex 6957	. . . . . 6 |- { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } e. _V
3	1, 2	coex 7118	. . . . 5 |- ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) e. _V
4		1ne2 11240	. . . . . . . . . . 11 |- 1 =/= 2
5		1re 10039	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
6		1lt3 11196	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 < 3
7	5, 6	ltneii 10150	. . . . . . . . . . 11 |- 1 =/= 3
8		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
9		2lt3 11195	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 < 3
10	8, 9	ltneii 10150	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 3
11		1ex 10035	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. _V
12		2ex 11092	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. _V
13		3ex 11096	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. _V
14		rabren3dioph.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- X e. ( 1 ... N )
15	14	elexi 3213	. . . . . . . . . . . 12 |- X e. _V
16		rabren3dioph.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- Y e. ( 1 ... N )
17	16	elexi 3213	. . . . . . . . . . . 12 |- Y e. _V
18		rabren3dioph.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z e. ( 1 ... N )
19	18	elexi 3213	. . . . . . . . . . . 12 |- Z e. _V
20	11, 12, 13, 15, 17, 19	fntp 5949	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 =/= 2 /\ 1 =/= 3 /\ 2 =/= 3 ) -> { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } Fn { 1 , 2 , 3 } )
21	4, 7, 10, 20	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10 |- { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } Fn { 1 , 2 , 3 }
22	11	tpid1 4303	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. { 1 , 2 , 3 }
23		fvco2 6273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } Fn { 1 , 2 , 3 } /\ 1 e. { 1 , 2 , 3 } ) -> ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 1 ) = ( b ` ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 1 ) ) )
24	21, 22, 23	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 1 ) = ( b ` ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 1 ) )
25	11, 15	fvtp1 6460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 =/= 2 /\ 1 =/= 3 ) -> ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 1 ) = X )
26	4, 7, 25	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 1 ) = X
27	26	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( b ` ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 1 ) ) = ( b ` X )
28	24, 27	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 1 ) = ( b ` X )
29	12	tpid2 4304	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. { 1 , 2 , 3 }
30		fvco2 6273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } Fn { 1 , 2 , 3 } /\ 2 e. { 1 , 2 , 3 } ) -> ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 2 ) = ( b ` ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 2 ) ) )
31	21, 29, 30	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 2 ) = ( b ` ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 2 ) )
32	12, 17	fvtp2 6461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 =/= 2 /\ 2 =/= 3 ) -> ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 2 ) = Y )
33	4, 10, 32	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 2 ) = Y
34	33	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( b ` ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 2 ) ) = ( b ` Y )
35	31, 34	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 2 ) = ( b ` Y )
36	13	tpid3 4307	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. { 1 , 2 , 3 }
37		fvco2 6273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } Fn { 1 , 2 , 3 } /\ 3 e. { 1 , 2 , 3 } ) -> ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 3 ) = ( b ` ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 3 ) ) )
38	21, 36, 37	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 3 ) = ( b ` ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 3 ) )
39	13, 19	fvtp3 6462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 =/= 3 /\ 2 =/= 3 ) -> ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 3 ) = Z )
40	7, 10, 39	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 3 ) = Z
41	40	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( b ` ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ` 3 ) ) = ( b ` Z )
42	38, 41	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 3 ) = ( b ` Z )
43	28, 35, 42	3pm3.2i 1239	. . . . . . 7 |- ( ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 1 ) = ( b ` X ) /\ ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 2 ) = ( b ` Y ) /\ ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 3 ) = ( b ` Z ) )
44		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) -> ( a ` 1 ) = ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 1 ) )
45	44	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) -> ( ( a ` 1 ) = ( b ` X ) <-> ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 1 ) = ( b ` X ) ) )
46		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) -> ( a ` 2 ) = ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 2 ) )
47	46	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) -> ( ( a ` 2 ) = ( b ` Y ) <-> ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 2 ) = ( b ` Y ) ) )
48		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) -> ( a ` 3 ) = ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 3 ) )
49	48	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) -> ( ( a ` 3 ) = ( b ` Z ) <-> ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 3 ) = ( b ` Z ) ) )
50	45, 47, 49	3anbi123d 1399	. . . . . . 7 |- ( a = ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) -> ( ( ( a ` 1 ) = ( b ` X ) /\ ( a ` 2 ) = ( b ` Y ) /\ ( a ` 3 ) = ( b ` Z ) ) <-> ( ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 1 ) = ( b ` X ) /\ ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 2 ) = ( b ` Y ) /\ ( ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) ` 3 ) = ( b ` Z ) ) ) )
51	43, 50	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( a = ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) -> ( ( a ` 1 ) = ( b ` X ) /\ ( a ` 2 ) = ( b ` Y ) /\ ( a ` 3 ) = ( b ` Z ) ) )
52		rabren3dioph.a	. . . . . 6 |- ( ( ( a ` 1 ) = ( b ` X ) /\ ( a ` 2 ) = ( b ` Y ) /\ ( a ` 3 ) = ( b ` Z ) ) -> ( ph <-> ps ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . 5 |- ( a = ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) -> ( ph <-> ps ) )
54	3, 53	sbcie 3470	. . . 4 |- ( [. ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) / a ]. ph <-> ps )
55	54	a1i 11	. . 3 |- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( [. ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) / a ]. ph <-> ps ) )
56	55	rabbiia 3185	. 2 |- { b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | [. ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) / a ]. ph } = { b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ps }
57	11, 12, 13, 15, 17, 19, 4, 7, 10	ftp 6424	. . . . 5 |- { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } : { 1 , 2 , 3 } --> { X , Y , Z }
58		1z 11407	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
59		fztp 12397	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... ( 1 + 2 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) , ( 1 + 2 ) } )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( 1 + 2 ) ) = { 1 , ( 1 + 1 ) , ( 1 + 2 ) }
61		1p2e3 11152	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 2 ) = 3
62	61	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( 1 + 2 ) ) = ( 1 ... 3 )
63		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> 1 = 1 )
64		1p1e2 11134	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 + 1 ) = 2
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 + 1 ) = 2 )
66	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 + 2 ) = 3 )
67	63, 65, 66	tpeq123d 4283	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> { 1 , ( 1 + 1 ) , ( 1 + 2 ) } = { 1 , 2 , 3 } )
68	58, 67	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- { 1 , ( 1 + 1 ) , ( 1 + 2 ) } = { 1 , 2 , 3 }
69	60, 62, 68	3eqtr3i 2652	. . . . . 6 |- ( 1 ... 3 ) = { 1 , 2 , 3 }
70	69	feq2i 6037	. . . . 5 |- ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> { X , Y , Z } <-> { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } : { 1 , 2 , 3 } --> { X , Y , Z } )
71	57, 70	mpbir 221	. . . 4 |- { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> { X , Y , Z }
72	14, 16, 18	3pm3.2i 1239	. . . . 5 |- ( X e. ( 1 ... N ) /\ Y e. ( 1 ... N ) /\ Z e. ( 1 ... N ) )
73	15, 17, 19	tpss 4368	. . . . 5 |- ( ( X e. ( 1 ... N ) /\ Y e. ( 1 ... N ) /\ Z e. ( 1 ... N ) ) <-> { X , Y , Z } C_ ( 1 ... N ) )
74	72, 73	mpbi 220	. . . 4 |- { X , Y , Z } C_ ( 1 ... N )
75		fss 6056	. . . 4 |- ( ( { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> { X , Y , Z } /\ { X , Y , Z } C_ ( 1 ... N ) ) -> { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> ( 1 ... N ) )
76	71, 74, 75	mp2an 708	. . 3 |- { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> ( 1 ... N )
77		rabrenfdioph 37378	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> ( 1 ... N ) /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ph } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | [. ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) / a ]. ph } e. (Dioph ` N ) )
78	76, 77	mp3an2 1412	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ph } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | [. ( b o. { <. 1 , X >. , <. 2 , Y >. , <. 3 , Z >. } ) / a ]. ph } e. (Dioph ` N ) )
79	56, 78	syl5eqelr 2706	1 |- ( ( N e. NN0 /\ { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... 3 ) ) | ph } e. (Dioph ` 3 ) ) -> { b e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | ps } e. (Dioph ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   [.wsbc 3435   C_ wss 3574   {ctp 4181   <.cop 4183   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   1c1 9937   + caddc 9939   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326  Diophcdioph 37318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287  df-dioph 37319

This theorem is referenced by:  rmxdioph  37583  expdiophlem2  37589