Theorem lvecdim 19157

Description: The dimension theorem for vector spaces: any two bases of the same vector space are equinumerous. Proven by using lssacsex 19144 and lbsacsbs 19156 to show that being a basis for a vector space is equivalent to being a basis for the associated algebraic closure system, and then using acsexdimd 17183. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecdim.1	|- J = (LBasis ` W )

Assertion

Ref	Expression
lvecdim	|- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> S ~~ T )

Proof of Theorem lvecdim

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) = (mrCls ` ( LSubSp ` W ) )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
4	1, 2, 3	lssacsex 19144	. . . 4 |- ( W e. LVec -> ( ( LSubSp ` W ) e. (ACS ` ( Base ` W ) ) /\ A. x e. ~P ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) A. z e. ( ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` ( x u. { y } ) ) \ ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` x ) ) y e. ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` ( x u. { z } ) ) ) )
5	4	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> ( ( LSubSp ` W ) e. (ACS ` ( Base ` W ) ) /\ A. x e. ~P ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) A. z e. ( ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` ( x u. { y } ) ) \ ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` x ) ) y e. ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` ( x u. { z } ) ) ) )
6	5	simpld 475	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> ( LSubSp ` W ) e. (ACS ` ( Base ` W ) ) )
7		eqid 2622	. 2 |- (mrInd ` ( LSubSp ` W ) ) = (mrInd ` ( LSubSp ` W ) )
8	5	simprd 479	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> A. x e. ~P ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) A. z e. ( ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` ( x u. { y } ) ) \ ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` x ) ) y e. ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` ( x u. { z } ) ) )
9		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> S e. J )
10		lvecdim.1	. . . . . 6 |- J = (LBasis ` W )
11	1, 2, 3, 7, 10	lbsacsbs 19156	. . . . 5 |- ( W e. LVec -> ( S e. J <-> ( S e. (mrInd ` ( LSubSp ` W ) ) /\ ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` S ) = ( Base ` W ) ) ) )
12	11	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> ( S e. J <-> ( S e. (mrInd ` ( LSubSp ` W ) ) /\ ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` S ) = ( Base ` W ) ) ) )
13	9, 12	mpbid 222	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> ( S e. (mrInd ` ( LSubSp ` W ) ) /\ ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` S ) = ( Base ` W ) ) )
14	13	simpld 475	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> S e. (mrInd ` ( LSubSp ` W ) ) )
15		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> T e. J )
16	1, 2, 3, 7, 10	lbsacsbs 19156	. . . . 5 |- ( W e. LVec -> ( T e. J <-> ( T e. (mrInd ` ( LSubSp ` W ) ) /\ ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` T ) = ( Base ` W ) ) ) )
17	16	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> ( T e. J <-> ( T e. (mrInd ` ( LSubSp ` W ) ) /\ ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` T ) = ( Base ` W ) ) ) )
18	15, 17	mpbid 222	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> ( T e. (mrInd ` ( LSubSp ` W ) ) /\ ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` T ) = ( Base ` W ) ) )
19	18	simpld 475	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> T e. (mrInd ` ( LSubSp ` W ) ) )
20	13	simprd 479	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` S ) = ( Base ` W ) )
21	18	simprd 479	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` T ) = ( Base ` W ) )
22	20, 21	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` S ) = ( (mrCls ` ( LSubSp ` W ) ) ` T ) )
23	6, 2, 7, 8, 14, 19, 22	acsexdimd 17183	1 |- ( ( W e. LVec /\ S e. J /\ T e. J ) -> S ~~ T )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   ~~ cen 7952   Basecbs 15857  mrClscmrc 16243  mrIndcmri 16244  ACScacs 16245   LSubSpclss 18932  LBasisclbs 19074   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ocomp 15963  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-mri 16248  df-acs 16249  df-preset 16928  df-drs 16929  df-poset 16946  df-ipo 17152  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lbs 19075  df-lvec 19103

This theorem is referenced by: (None)