Theorem mapdcnvatN 36955

Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 36914. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdat.h	|- H = ( LHyp ` K )
mapdat.m	|- M = ( (mapd ` K ) ` W )
mapdat.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
mapdat.a	|- A = (LSAtoms ` U )
mapdat.c	|- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
mapdat.b	|- B = (LSAtoms ` C )
mapdat.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
mapdcnvat.q	|- ( ph -> Q e. B )

Assertion

Ref	Expression
mapdcnvatN	|- ( ph -> ( `' M ` Q ) e. A )

Proof of Theorem mapdcnvatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdat.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
2		mapdat.m	. . . . 5 |- M = ( (mapd ` K ) ` W )
3		mapdat.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
5		mapdat.k	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
6	1, 3, 5	dvhlmod 36399	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. LMod )
7		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` U ) = ( 0g ` U )
8	7, 4	lsssn0 18948	. . . . . 6 |- ( U e. LMod -> { ( 0g ` U ) } e. ( LSubSp ` U ) )
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { ( 0g ` U ) } e. ( LSubSp ` U ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	mapdcnvid1N 36943	. . . 4 |- ( ph -> ( `' M ` ( M ` { ( 0g ` U ) } ) ) = { ( 0g ` U ) } )
11		mapdat.c	. . . . . 6 |- C = ( (LCDual ` K ) ` W )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` C )
13	1, 2, 3, 7, 11, 12, 5	mapd0 36954	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ` { ( 0g ` U ) } ) = { ( 0g ` C ) } )
14	13	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( `' M ` ( M ` { ( 0g ` U ) } ) ) = ( `' M ` { ( 0g ` C ) } ) )
15	10, 14	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ph -> { ( 0g ` U ) } = ( `' M ` { ( 0g ` C ) } ) )
16		mapdat.b	. . . . . 6 |- B = (LSAtoms ` C )
17		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( <oLL ` C ) = ( <oLL ` C )
18	1, 11, 5	lcdlvec 36880	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. LVec )
19		mapdcnvat.q	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. B )
20	12, 16, 17, 18, 19	lsatcv0 34318	. . . . 5 |- ( ph -> { ( 0g ` C ) } ( <oLL ` C ) Q )
21	1, 11, 5	lcdlmod 36881	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. LMod )
22		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( LSubSp ` C ) = ( LSubSp ` C )
23	12, 22	lsssn0 18948	. . . . . . . 8 |- ( C e. LMod -> { ( 0g ` C ) } e. ( LSubSp ` C ) )
24	21, 23	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( 0g ` C ) } e. ( LSubSp ` C ) )
25	1, 2, 11, 22, 5	mapdrn2 36940	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran M = ( LSubSp ` C ) )
26	24, 25	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ph -> { ( 0g ` C ) } e. ran M )
27	1, 2, 5, 26	mapdcnvid2 36946	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ` ( `' M ` { ( 0g ` C ) } ) ) = { ( 0g ` C ) } )
28	22, 16, 21, 19	lsatlssel 34284	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. ( LSubSp ` C ) )
29	28, 25	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. ran M )
30	1, 2, 5, 29	mapdcnvid2 36946	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ` ( `' M ` Q ) ) = Q )
31	20, 27, 30	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ph -> ( M ` ( `' M ` { ( 0g ` C ) } ) ) ( <oLL ` C ) ( M ` ( `' M ` Q ) ) )
32		eqid 2622	. . . . 5 |- ( <oLL ` U ) = ( <oLL ` U )
33	1, 2, 3, 4, 5, 26	mapdcnvcl 36941	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' M ` { ( 0g ` C ) } ) e. ( LSubSp ` U ) )
34	1, 2, 3, 4, 5, 29	mapdcnvcl 36941	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' M ` Q ) e. ( LSubSp ` U ) )
35	1, 2, 3, 4, 32, 11, 17, 5, 33, 34	mapdcv 36949	. . . 4 |- ( ph -> ( ( `' M ` { ( 0g ` C ) } ) ( <oLL ` U ) ( `' M ` Q ) <-> ( M ` ( `' M ` { ( 0g ` C ) } ) ) ( <oLL ` C ) ( M ` ( `' M ` Q ) ) ) )
36	31, 35	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( `' M ` { ( 0g ` C ) } ) ( <oLL ` U ) ( `' M ` Q ) )
37	15, 36	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> { ( 0g ` U ) } ( <oLL ` U ) ( `' M ` Q ) )
38		mapdat.a	. . 3 |- A = (LSAtoms ` U )
39	1, 3, 5	dvhlvec 36398	. . 3 |- ( ph -> U e. LVec )
40	7, 4, 38, 32, 39, 34	lsat0cv 34320	. 2 |- ( ph -> ( ( `' M ` Q ) e. A <-> { ( 0g ` U ) } ( <oLL ` U ) ( `' M ` Q ) ) )
41	37, 40	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( `' M ` Q ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   ran crn 5115   ` cfv 5888   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932  LSAtomsclsa 34261   <oL_L clcv 34305   HLchlt 34637   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367  LCDualclcd 36875  mapdcmpd 36913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lcv 34306  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684  df-lcdual 36876  df-mapd 36914

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  37150  hdmaprnlem16N  37154