Theorem mbfdm 23395

Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfdm	|- ( F e. MblFn -> dom F e. dom vol )

Proof of Theorem mbfdm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 13852	. . . 4 |- Re : CC --> RR
2		mbff 23394	. . . 4 |- ( F e. MblFn -> F : dom F --> CC )
3		fco 6058	. . . 4 |- ( ( Re : CC --> RR /\ F : dom F --> CC ) -> ( Re o. F ) : dom F --> RR )
4	1, 2, 3	sylancr 695	. . 3 |- ( F e. MblFn -> ( Re o. F ) : dom F --> RR )
5		fimacnv 6347	. . 3 |- ( ( Re o. F ) : dom F --> RR -> ( `' ( Re o. F ) " RR ) = dom F )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( F e. MblFn -> ( `' ( Re o. F ) " RR ) = dom F )
7		ioomax 12248	. . . 4 |- ( -oo (,) +oo ) = RR
8		ioof 12271	. . . . . 6 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
9		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
11		mnfxr 10096	. . . . 5 |- -oo e. RR*
12		pnfxr 10092	. . . . 5 |- +oo e. RR*
13		fnovrn 6809	. . . . 5 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ -oo e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo (,) +oo ) e. ran (,) )
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1424	. . . 4 |- ( -oo (,) +oo ) e. ran (,)
15	7, 14	eqeltrri 2698	. . 3 |- RR e. ran (,)
16		ismbf1 23393	. . . . 5 |- ( F e. MblFn <-> ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ A. x e. ran (,) ( ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol /\ ( `' ( Im o. F ) " x ) e. dom vol ) ) )
17	16	simprbi 480	. . . 4 |- ( F e. MblFn -> A. x e. ran (,) ( ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol /\ ( `' ( Im o. F ) " x ) e. dom vol ) )
18		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol /\ ( `' ( Im o. F ) " x ) e. dom vol ) -> ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol )
19	18	ralimi 2952	. . . 4 |- ( A. x e. ran (,) ( ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol /\ ( `' ( Im o. F ) " x ) e. dom vol ) -> A. x e. ran (,) ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol )
20	17, 19	syl 17	. . 3 |- ( F e. MblFn -> A. x e. ran (,) ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol )
21		imaeq2 5462	. . . . 5 |- ( x = RR -> ( `' ( Re o. F ) " x ) = ( `' ( Re o. F ) " RR ) )
22	21	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( x = RR -> ( ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol <-> ( `' ( Re o. F ) " RR ) e. dom vol ) )
23	22	rspcv 3305	. . 3 |- ( RR e. ran (,) -> ( A. x e. ran (,) ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol -> ( `' ( Re o. F ) " RR ) e. dom vol ) )
24	15, 20, 23	mpsyl 68	. 2 |- ( F e. MblFn -> ( `' ( Re o. F ) " RR ) e. dom vol )
25	6, 24	eqeltrrd 2702	1 |- ( F e. MblFn -> dom F e. dom vol )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ~Pcpw 4158   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   (,)cioo 12175   Recre 13837   Imcim 13838   volcvol 23232  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-ioo 12179  df-cj 13839  df-re 13840  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  ismbf  23397  ismbfcn  23398  mbfimaicc  23400  mbfdm2  23405  mbfres  23411  mbfmulc2lem  23414  mbfimaopn2  23424  cncombf  23425  mbfaddlem  23427  mbfadd  23428  mbfsub  23429  mbfmullem2  23491  mbfmul  23493  bddmulibl  23605  bddibl  23606  itgulm  24162  bddiblnc  33480  ftc1anclem1  33485  ftc1anclem5  33489  ftc1anclem8  33492  smfmbfcex  40968