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Theorem mbfaddlem 23427
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1 |- ( ph -> F e. MblFn )
mbfadd.2 |- ( ph -> G e. MblFn )
mbfadd.3 |- ( ph -> F : A --> RR )
mbfadd.4 |- ( ph -> G : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfaddlem |- ( ph -> ( F oF + G ) e. MblFn )
Proof of Theorem mbfaddlem
Dummy variables r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 10019 . . . 4 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x + y ) e. RR )
21adantl 482 . . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x + y ) e. RR )
3 mbfadd.3 . . 3 |- ( ph -> F : A --> RR )
4 mbfadd.4 . . 3 |- ( ph -> G : A --> RR )
5 fdm 6051 . . . . 5 |- ( F : A --> RR -> dom F = A )
63, 5syl 17 . . . 4 |- ( ph -> dom F = A )
7 mbfadd.1 . . . . 5 |- ( ph -> F e. MblFn )
8 mbfdm 23395 . . . . 5 |- ( F e. MblFn -> dom F e. dom vol )
97, 8syl 17 . . . 4 |- ( ph -> dom F e. dom vol )
106, 9eqeltrrd 2702 . . 3 |- ( ph -> A e. dom vol )
11 inidm 3822 . . 3 |- ( A i^i A ) = A
122, 3, 4, 10, 10, 11off 6912 . 2 |- ( ph -> ( F oF + G ) : A --> RR )
13 eliun 4524 . . . . 5 |- ( x e. U_ r e. QQ ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) <-> E. r e. QQ x e. ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) )
14 r19.42v 3092 . . . . . . 7 |- ( E. r e. QQ ( x e. A /\ ( ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) /\ ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) <-> ( x e. A /\ E. r e. QQ ( ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) /\ ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) )
15 simplr 792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
164adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> G : A --> RR )
1716ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) e. RR )
183adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F : A --> RR )
1918ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. RR )
2015, 17, 19ltsubaddd 10623 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( y - ( G ` x ) ) < ( F ` x ) <-> y < ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) ) )
2115adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> y e. RR )
22 qre 11793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r e. QQ -> r e. RR )
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> r e. RR )
2417adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( G ` x ) e. RR )
25 ltsub23 10508 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR /\ r e. RR /\ ( G ` x ) e. RR ) -> ( ( y - r ) < ( G ` x ) <-> ( y - ( G ` x ) ) < r ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( ( y - r ) < ( G ` x ) <-> ( y - ( G ` x ) ) < r ) )
2726anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( ( r < ( F ` x ) /\ ( y - r ) < ( G ` x ) ) <-> ( r < ( F ` x ) /\ ( y - ( G ` x ) ) < r ) ) )
28 ancom 466 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( r < ( F ` x ) /\ ( y - ( G ` x ) ) < r ) <-> ( ( y - ( G ` x ) ) < r /\ r < ( F ` x ) ) )
2927, 28syl6bb 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( ( r < ( F ` x ) /\ ( y - r ) < ( G ` x ) ) <-> ( ( y - ( G ` x ) ) < r /\ r < ( F ` x ) ) ) )
3029rexbidva 3049 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( E. r e. QQ ( r < ( F ` x ) /\ ( y - r ) < ( G ` x ) ) <-> E. r e. QQ ( ( y - ( G ` x ) ) < r /\ r < ( F ` x ) ) ) )
3115, 17resubcld 10458 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y - ( G ` x ) ) e. RR )
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( y - ( G ` x ) ) e. RR )
3319adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( F ` x ) e. RR )
34 lttr 10114 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y - ( G ` x ) ) e. RR /\ r e. RR /\ ( F ` x ) e. RR ) -> ( ( ( y - ( G ` x ) ) < r /\ r < ( F ` x ) ) -> ( y - ( G ` x ) ) < ( F ` x ) ) )
3532, 23, 33, 34syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( ( ( y - ( G ` x ) ) < r /\ r < ( F ` x ) ) -> ( y - ( G ` x ) ) < ( F ` x ) ) )
3635rexlimdva 3031 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( E. r e. QQ ( ( y - ( G ` x ) ) < r /\ r < ( F ` x ) ) -> ( y - ( G ` x ) ) < ( F ` x ) ) )
37 qbtwnre 12030 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y - ( G ` x ) ) e. RR /\ ( F ` x ) e. RR /\ ( y - ( G ` x ) ) < ( F ` x ) ) -> E. r e. QQ ( ( y - ( G ` x ) ) < r /\ r < ( F ` x ) ) )
38373expia 1267 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y - ( G ` x ) ) e. RR /\ ( F ` x ) e. RR ) -> ( ( y - ( G ` x ) ) < ( F ` x ) -> E. r e. QQ ( ( y - ( G ` x ) ) < r /\ r < ( F ` x ) ) ) )
3931, 19, 38syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( y - ( G ` x ) ) < ( F ` x ) -> E. r e. QQ ( ( y - ( G ` x ) ) < r /\ r < ( F ` x ) ) ) )
4036, 39impbid 202 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( E. r e. QQ ( ( y - ( G ` x ) ) < r /\ r < ( F ` x ) ) <-> ( y - ( G ` x ) ) < ( F ` x ) ) )
4130, 40bitrd 268 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( E. r e. QQ ( r < ( F ` x ) /\ ( y - r ) < ( G ` x ) ) <-> ( y - ( G ` x ) ) < ( F ` x ) ) )
42 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : A --> RR -> F Fn A )
433, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn A )
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F Fn A )
45 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G : A --> RR -> G Fn A )
464, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G Fn A )
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> G Fn A )
4810adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> A e. dom vol )
49 eqidd 2623 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) )
50 eqidd 2623 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = ( G ` x ) )
5144, 47, 48, 48, 11, 49, 50ofval 6906 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F oF + G ) ` x ) = ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) )
5251breq2d 4665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( ( F oF + G ) ` x ) <-> y < ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) ) )
5320, 41, 523bitr4d 300 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( E. r e. QQ ( r < ( F ` x ) /\ ( y - r ) < ( G ` x ) ) <-> y < ( ( F oF + G ) ` x ) ) )
5423rexrd 10089 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> r e. RR* )
55 elioopnf 12267 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( r e. RR* -> ( ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ r < ( F ` x ) ) ) )
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ r < ( F ` x ) ) ) )
5733biantrurd 529 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( r < ( F ` x ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ r < ( F ` x ) ) ) )
5856, 57bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) <-> r < ( F ` x ) ) )
5921, 23resubcld 10458 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( y - r ) e. RR )
6059rexrd 10089 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( y - r ) e. RR* )
61 elioopnf 12267 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y - r ) e. RR* -> ( ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) <-> ( ( G ` x ) e. RR /\ ( y - r ) < ( G ` x ) ) ) )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) <-> ( ( G ` x ) e. RR /\ ( y - r ) < ( G ` x ) ) ) )
6324biantrurd 529 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( ( y - r ) < ( G ` x ) <-> ( ( G ` x ) e. RR /\ ( y - r ) < ( G ` x ) ) ) )
6462, 63bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) <-> ( y - r ) < ( G ` x ) ) )
6558, 64anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) /\ r e. QQ ) -> ( ( ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) /\ ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) ) <-> ( r < ( F ` x ) /\ ( y - r ) < ( G ` x ) ) ) )
6665rexbidva 3049 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( E. r e. QQ ( ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) /\ ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) ) <-> E. r e. QQ ( r < ( F ` x ) /\ ( y - r ) < ( G ` x ) ) ) )
6715rexrd 10089 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR* )
68 elioopnf 12267 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR* -> ( ( ( F oF + G ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( ( F oF + G ) ` x ) e. RR /\ y < ( ( F oF + G ) ` x ) ) ) )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F oF + G ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> ( ( ( F oF + G ) ` x ) e. RR /\ y < ( ( F oF + G ) ` x ) ) ) )
7012adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F oF + G ) : A --> RR )
7170ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( F oF + G ) ` x ) e. RR )
7271biantrurd 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( y < ( ( F oF + G ) ` x ) <-> ( ( ( F oF + G ) ` x ) e. RR /\ y < ( ( F oF + G ) ` x ) ) ) )
7369, 72bitr4d 271 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ( ( F oF + G ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) <-> y < ( ( F oF + G ) ` x ) ) )
7453, 66, 733bitr4d 300 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> ( E. r e. QQ ( ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) /\ ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) ) <-> ( ( F oF + G ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) )
7574pm5.32da 673 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( x e. A /\ E. r e. QQ ( ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) /\ ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( F oF + G ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
7614, 75syl5bb 272 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. r e. QQ ( x e. A /\ ( ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) /\ ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( F oF + G ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
77 elpreima 6337 . . . . . . . . . 10 |- ( F Fn A -> ( x e. ( `' F " ( r (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) ) ) )
7844, 77syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( x e. ( `' F " ( r (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) ) ) )
79 elpreima 6337 . . . . . . . . . 10 |- ( G Fn A -> ( x e. ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) )
8047, 79syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( x e. ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) )
8178, 80anbi12d 747 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( x e. ( `' F " ( r (,) +oo ) ) /\ x e. ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) <-> ( ( x e. A /\ ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) ) /\ ( x e. A /\ ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) ) )
82 elin 3796 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) <-> ( x e. ( `' F " ( r (,) +oo ) ) /\ x e. ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) )
83 anandi 871 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ ( ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) /\ ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) <-> ( ( x e. A /\ ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) ) /\ ( x e. A /\ ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) )
8481, 82, 833bitr4g 303 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( x e. ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) /\ ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) ) )
8584rexbidv 3052 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. r e. QQ x e. ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) <-> E. r e. QQ ( x e. A /\ ( ( F ` x ) e. ( r (,) +oo ) /\ ( G ` x ) e. ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) ) )
86 ffn 6045 . . . . . . . . 9 |- ( ( F oF + G ) : A --> RR -> ( F oF + G ) Fn A )
8712, 86syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F oF + G ) Fn A )
8887adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F oF + G ) Fn A )
89 elpreima 6337 . . . . . . 7 |- ( ( F oF + G ) Fn A -> ( x e. ( `' ( F oF + G ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( F oF + G ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
9088, 89syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( x e. ( `' ( F oF + G ) " ( y (,) +oo ) ) <-> ( x e. A /\ ( ( F oF + G ) ` x ) e. ( y (,) +oo ) ) ) )
9176, 85, 903bitr4d 300 . . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. r e. QQ x e. ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) <-> x e. ( `' ( F oF + G ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
9213, 91syl5bb 272 . . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( x e. U_ r e. QQ ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) <-> x e. ( `' ( F oF + G ) " ( y (,) +oo ) ) ) )
9392eqrdv 2620 . . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> U_ r e. QQ ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) = ( `' ( F oF + G ) " ( y (,) +oo ) ) )
94 qnnen 14942 . . . . 5 |- QQ ~~ NN
95 endom 7982 . . . . 5 |- ( QQ ~~ NN -> QQ ~<_ NN )
9694, 95ax-mp 5 . . . 4 |- QQ ~<_ NN
97 mbfima 23399 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. MblFn /\ F : A --> RR ) -> ( `' F " ( r (,) +oo ) ) e. dom vol )
987, 3, 97syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' F " ( r (,) +oo ) ) e. dom vol )
99 mbfadd.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. MblFn )
100 mbfima 23399 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. MblFn /\ G : A --> RR ) -> ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) e. dom vol )
10199, 4, 100syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) e. dom vol )
102 inmbl 23310 . . . . . . 7 |- ( ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) e. dom vol /\ ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
10398, 101, 102syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
104103ad2antrr 762 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ r e. QQ ) -> ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
105104ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> A. r e. QQ ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
106 iunmbl2 23325 . . . 4 |- ( ( QQ ~<_ NN /\ A. r e. QQ ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) e. dom vol ) -> U_ r e. QQ ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
10796, 105, 106sylancr 695 . . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> U_ r e. QQ ( ( `' F " ( r (,) +oo ) ) i^i ( `' G " ( ( y - r ) (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
10893, 107eqeltrrd 2702 . 2 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( `' ( F oF + G ) " ( y (,) +oo ) ) e. dom vol )
10912, 108ismbf3d 23421 1 |- ( ph -> ( F oF + G ) e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   RRcr 9935   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   NNcn 11020   QQcq 11788   (,)cioo 12175   volcvol 23232  MblFncmbf 23383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388
This theorem is referenced by:  mbfadd  23428
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