Theorem mbfres 23411

Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mbfres	|- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( F |` A ) e. MblFn )

Proof of Theorem mbfres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ref 13852	. . . 4 |- Re : CC --> RR
2		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> A e. dom vol )
3		ismbf1 23393	. . . . . . . . 9 |- ( F e. MblFn <-> ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ A. x e. ran (,) ( ( `' ( Re o. F ) " x ) e. dom vol /\ ( `' ( Im o. F ) " x ) e. dom vol ) ) )
4	3	simplbi 476	. . . . . . . 8 |- ( F e. MblFn -> F e. ( CC ^pm RR ) )
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
6		pmresg 7885	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom vol /\ F e. ( CC ^pm RR ) ) -> ( F |` A ) e. ( CC ^pm A ) )
7	2, 5, 6	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( F |` A ) e. ( CC ^pm A ) )
8		cnex 10017	. . . . . . 7 |- CC e. _V
9		elpm2g 7874	. . . . . . 7 |- ( ( CC e. _V /\ A e. dom vol ) -> ( ( F |` A ) e. ( CC ^pm A ) <-> ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> CC /\ dom ( F |` A ) C_ A ) ) )
10	8, 2, 9	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( ( F |` A ) e. ( CC ^pm A ) <-> ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> CC /\ dom ( F |` A ) C_ A ) ) )
11	7, 10	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> CC /\ dom ( F |` A ) C_ A ) )
12	11	simpld 475	. . . 4 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> CC )
13		fco 6058	. . . 4 |- ( ( Re : CC --> RR /\ ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> CC ) -> ( Re o. ( F |` A ) ) : dom ( F |` A ) --> RR )
14	1, 12, 13	sylancr 695	. . 3 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( Re o. ( F |` A ) ) : dom ( F |` A ) --> RR )
15		dmres 5419	. . . 4 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
16		id 22	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> A e. dom vol )
17		mbfdm 23395	. . . . 5 |- ( F e. MblFn -> dom F e. dom vol )
18		inmbl 23310	. . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ dom F e. dom vol ) -> ( A i^i dom F ) e. dom vol )
19	16, 17, 18	syl2anr 495	. . . 4 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( A i^i dom F ) e. dom vol )
20	15, 19	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> dom ( F |` A ) e. dom vol )
21		resco 5639	. . . . . . . 8 |- ( ( Re o. F ) |` A ) = ( Re o. ( F |` A ) )
22	21	cnveqi 5297	. . . . . . 7 |- `' ( ( Re o. F ) |` A ) = `' ( Re o. ( F |` A ) )
23	22	imaeq1i 5463	. . . . . 6 |- ( `' ( ( Re o. F ) |` A ) " ( x (,) +oo ) ) = ( `' ( Re o. ( F |` A ) ) " ( x (,) +oo ) )
24		cnvresima 5623	. . . . . 6 |- ( `' ( ( Re o. F ) |` A ) " ( x (,) +oo ) ) = ( ( `' ( Re o. F ) " ( x (,) +oo ) ) i^i A )
25	23, 24	eqtr3i 2646	. . . . 5 |- ( `' ( Re o. ( F |` A ) ) " ( x (,) +oo ) ) = ( ( `' ( Re o. F ) " ( x (,) +oo ) ) i^i A )
26		mbff 23394	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. MblFn -> F : dom F --> CC )
27		ismbfcn 23398	. . . . . . . . . 10 |- ( F : dom F --> CC -> ( F e. MblFn <-> ( ( Re o. F ) e. MblFn /\ ( Im o. F ) e. MblFn ) ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( F e. MblFn -> ( F e. MblFn <-> ( ( Re o. F ) e. MblFn /\ ( Im o. F ) e. MblFn ) ) )
29	28	ibi 256	. . . . . . . 8 |- ( F e. MblFn -> ( ( Re o. F ) e. MblFn /\ ( Im o. F ) e. MblFn ) )
30	29	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( F e. MblFn -> ( Re o. F ) e. MblFn )
31		fco 6058	. . . . . . . 8 |- ( ( Re : CC --> RR /\ F : dom F --> CC ) -> ( Re o. F ) : dom F --> RR )
32	1, 26, 31	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( F e. MblFn -> ( Re o. F ) : dom F --> RR )
33		mbfima 23399	. . . . . . 7 |- ( ( ( Re o. F ) e. MblFn /\ ( Re o. F ) : dom F --> RR ) -> ( `' ( Re o. F ) " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
34	30, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( F e. MblFn -> ( `' ( Re o. F ) " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
35		inmbl 23310	. . . . . 6 |- ( ( ( `' ( Re o. F ) " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol /\ A e. dom vol ) -> ( ( `' ( Re o. F ) " ( x (,) +oo ) ) i^i A ) e. dom vol )
36	34, 35	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( ( `' ( Re o. F ) " ( x (,) +oo ) ) i^i A ) e. dom vol )
37	25, 36	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( `' ( Re o. ( F |` A ) ) " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
38	37	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) /\ x e. RR ) -> ( `' ( Re o. ( F |` A ) ) " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
39	22	imaeq1i 5463	. . . . . 6 |- ( `' ( ( Re o. F ) |` A ) " ( -oo (,) x ) ) = ( `' ( Re o. ( F |` A ) ) " ( -oo (,) x ) )
40		cnvresima 5623	. . . . . 6 |- ( `' ( ( Re o. F ) |` A ) " ( -oo (,) x ) ) = ( ( `' ( Re o. F ) " ( -oo (,) x ) ) i^i A )
41	39, 40	eqtr3i 2646	. . . . 5 |- ( `' ( Re o. ( F |` A ) ) " ( -oo (,) x ) ) = ( ( `' ( Re o. F ) " ( -oo (,) x ) ) i^i A )
42		mbfima 23399	. . . . . . 7 |- ( ( ( Re o. F ) e. MblFn /\ ( Re o. F ) : dom F --> RR ) -> ( `' ( Re o. F ) " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
43	30, 32, 42	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( F e. MblFn -> ( `' ( Re o. F ) " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
44		inmbl 23310	. . . . . 6 |- ( ( ( `' ( Re o. F ) " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol /\ A e. dom vol ) -> ( ( `' ( Re o. F ) " ( -oo (,) x ) ) i^i A ) e. dom vol )
45	43, 44	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( ( `' ( Re o. F ) " ( -oo (,) x ) ) i^i A ) e. dom vol )
46	41, 45	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( `' ( Re o. ( F |` A ) ) " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
47	46	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) /\ x e. RR ) -> ( `' ( Re o. ( F |` A ) ) " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
48	14, 20, 38, 47	ismbf2d 23408	. 2 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( Re o. ( F |` A ) ) e. MblFn )
49		imf 13853	. . . 4 |- Im : CC --> RR
50		fco 6058	. . . 4 |- ( ( Im : CC --> RR /\ ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> CC ) -> ( Im o. ( F |` A ) ) : dom ( F |` A ) --> RR )
51	49, 12, 50	sylancr 695	. . 3 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( Im o. ( F |` A ) ) : dom ( F |` A ) --> RR )
52		resco 5639	. . . . . . . 8 |- ( ( Im o. F ) |` A ) = ( Im o. ( F |` A ) )
53	52	cnveqi 5297	. . . . . . 7 |- `' ( ( Im o. F ) |` A ) = `' ( Im o. ( F |` A ) )
54	53	imaeq1i 5463	. . . . . 6 |- ( `' ( ( Im o. F ) |` A ) " ( x (,) +oo ) ) = ( `' ( Im o. ( F |` A ) ) " ( x (,) +oo ) )
55		cnvresima 5623	. . . . . 6 |- ( `' ( ( Im o. F ) |` A ) " ( x (,) +oo ) ) = ( ( `' ( Im o. F ) " ( x (,) +oo ) ) i^i A )
56	54, 55	eqtr3i 2646	. . . . 5 |- ( `' ( Im o. ( F |` A ) ) " ( x (,) +oo ) ) = ( ( `' ( Im o. F ) " ( x (,) +oo ) ) i^i A )
57	29	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( F e. MblFn -> ( Im o. F ) e. MblFn )
58		fco 6058	. . . . . . . 8 |- ( ( Im : CC --> RR /\ F : dom F --> CC ) -> ( Im o. F ) : dom F --> RR )
59	49, 26, 58	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( F e. MblFn -> ( Im o. F ) : dom F --> RR )
60		mbfima 23399	. . . . . . 7 |- ( ( ( Im o. F ) e. MblFn /\ ( Im o. F ) : dom F --> RR ) -> ( `' ( Im o. F ) " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
61	57, 59, 60	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( F e. MblFn -> ( `' ( Im o. F ) " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
62		inmbl 23310	. . . . . 6 |- ( ( ( `' ( Im o. F ) " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol /\ A e. dom vol ) -> ( ( `' ( Im o. F ) " ( x (,) +oo ) ) i^i A ) e. dom vol )
63	61, 62	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( ( `' ( Im o. F ) " ( x (,) +oo ) ) i^i A ) e. dom vol )
64	56, 63	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( `' ( Im o. ( F |` A ) ) " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
65	64	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) /\ x e. RR ) -> ( `' ( Im o. ( F |` A ) ) " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
66	53	imaeq1i 5463	. . . . . 6 |- ( `' ( ( Im o. F ) |` A ) " ( -oo (,) x ) ) = ( `' ( Im o. ( F |` A ) ) " ( -oo (,) x ) )
67		cnvresima 5623	. . . . . 6 |- ( `' ( ( Im o. F ) |` A ) " ( -oo (,) x ) ) = ( ( `' ( Im o. F ) " ( -oo (,) x ) ) i^i A )
68	66, 67	eqtr3i 2646	. . . . 5 |- ( `' ( Im o. ( F |` A ) ) " ( -oo (,) x ) ) = ( ( `' ( Im o. F ) " ( -oo (,) x ) ) i^i A )
69		mbfima 23399	. . . . . . 7 |- ( ( ( Im o. F ) e. MblFn /\ ( Im o. F ) : dom F --> RR ) -> ( `' ( Im o. F ) " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
70	57, 59, 69	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( F e. MblFn -> ( `' ( Im o. F ) " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
71		inmbl 23310	. . . . . 6 |- ( ( ( `' ( Im o. F ) " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol /\ A e. dom vol ) -> ( ( `' ( Im o. F ) " ( -oo (,) x ) ) i^i A ) e. dom vol )
72	70, 71	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( ( `' ( Im o. F ) " ( -oo (,) x ) ) i^i A ) e. dom vol )
73	68, 72	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( `' ( Im o. ( F |` A ) ) " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
74	73	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) /\ x e. RR ) -> ( `' ( Im o. ( F |` A ) ) " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
75	51, 20, 65, 74	ismbf2d 23408	. 2 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( Im o. ( F |` A ) ) e. MblFn )
76		ismbfcn 23398	. . 3 |- ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> CC -> ( ( F |` A ) e. MblFn <-> ( ( Re o. ( F |` A ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( F |` A ) ) e. MblFn ) ) )
77	12, 76	syl 17	. 2 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( ( F |` A ) e. MblFn <-> ( ( Re o. ( F |` A ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( F |` A ) ) e. MblFn ) ) )
78	48, 75, 77	mpbir2and 957	1 |- ( ( F e. MblFn /\ A e. dom vol ) -> ( F |` A ) e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   -->wf 5884  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   (,)cioo 12175   Recre 13837   Imcim 13838   volcvol 23232  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  mbfadd  23428  mbfsub  23429  mbfmullem2  23491  mbfmul  23493  itg2cnlem1  23528  iblss  23571  mbfposadd  33457  ftc1cnnclem  33483  ftc1anclem8  33492