Theorem smfmbfcex 40968

Description: A constant function, with non-lebesgue-measurable domain is a sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) but it is not a measurable functions ( w.r.t. to df-mbf 23388). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmbfcex.s	|- S = dom vol
smfmbfcex.x	|- ( ph -> X C_ RR )
smfmbfcex.n	|- ( ph -> -. X e. S )
smfmbfcex.f	|- F = ( x e. X |-> 0 )

Assertion

Ref	Expression
smfmbfcex	|- ( ph -> ( F e. (SMblFn ` S ) /\ -. F e. MblFn ) )

Distinct variable groups:   x, X   ph, x

Allowed substitution hints:   S( x)   F( x)

Proof of Theorem smfmbfcex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . 3 |- F/ x ph
2		smfmbfcex.s	. . . . 5 |- S = dom vol
3		dmvolsal 40564	. . . . 5 |- dom vol e. SAlg
4	2, 3	eqeltri 2697	. . . 4 |- S e. SAlg
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> S e. SAlg )
6		smfmbfcex.x	. . . 4 |- ( ph -> X C_ RR )
7	2	unieqi 4445	. . . . 5 |- U. S = U. dom vol
8		unidmvol 23309	. . . . 5 |- U. dom vol = RR
9	7, 8	eqtri 2644	. . . 4 |- U. S = RR
10	6, 9	syl6sseqr 3652	. . 3 |- ( ph -> X C_ U. S )
11		0red 10041	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR )
12		smfmbfcex.f	. . 3 |- F = ( x e. X |-> 0 )
13	1, 5, 10, 11, 12	smfconst 40958	. 2 |- ( ph -> F e. (SMblFn ` S ) )
14		smfmbfcex.n	. . . 4 |- ( ph -> -. X e. S )
15		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 e. RR )
16	15, 12	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : X --> RR )
17	16	fdmd 39420	. . . . . 6 |- ( ph -> dom F = X )
18	2	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- dom vol = S
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> dom vol = S )
20	17, 19	eleq12d 2695	. . . . 5 |- ( ph -> ( dom F e. dom vol <-> X e. S ) )
21	20	notbid 308	. . . 4 |- ( ph -> ( -. dom F e. dom vol <-> -. X e. S ) )
22	14, 21	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> -. dom F e. dom vol )
23		mbfdm 23395	. . . 4 |- ( F e. MblFn -> dom F e. dom vol )
24	23	con3i 150	. . 3 |- ( -. dom F e. dom vol -> -. F e. MblFn )
25	22, 24	syl 17	. 2 |- ( ph -> -. F e. MblFn )
26	13, 25	jca 554	1 |- ( ph -> ( F e. (SMblFn ` S ) /\ -. F e. MblFn ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888   RRcr 9935   0cc0 9936   volcvol 23232  MblFncmbf 23383  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-salg 40529  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  nsssmfmbflem  40986