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Theorem mbfmul 23493
Description: The product of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 |- ( ph -> F e. MblFn )
mbfmul.2 |- ( ph -> G e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfmul |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. MblFn )
Proof of Theorem mbfmul
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . . . 5 |- ( ph -> F e. MblFn )
2 mbff 23394 . . . . 5 |- ( F e. MblFn -> F : dom F --> CC )
31, 2syl 17 . . . 4 |- ( ph -> F : dom F --> CC )
4 ffn 6045 . . . 4 |- ( F : dom F --> CC -> F Fn dom F )
53, 4syl 17 . . 3 |- ( ph -> F Fn dom F )
6 mbfmul.2 . . . . 5 |- ( ph -> G e. MblFn )
7 mbff 23394 . . . . 5 |- ( G e. MblFn -> G : dom G --> CC )
86, 7syl 17 . . . 4 |- ( ph -> G : dom G --> CC )
9 ffn 6045 . . . 4 |- ( G : dom G --> CC -> G Fn dom G )
108, 9syl 17 . . 3 |- ( ph -> G Fn dom G )
11 mbfdm 23395 . . . 4 |- ( F e. MblFn -> dom F e. dom vol )
121, 11syl 17 . . 3 |- ( ph -> dom F e. dom vol )
13 mbfdm 23395 . . . 4 |- ( G e. MblFn -> dom G e. dom vol )
146, 13syl 17 . . 3 |- ( ph -> dom G e. dom vol )
15 eqid 2622 . . 3 |- ( dom F i^i dom G ) = ( dom F i^i dom G )
16 eqidd 2623 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) )
17 eqidd 2623 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) = ( G ` x ) )
185, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6904 . 2 |- ( ph -> ( F oF x. G ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) )
19 elin 3796 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( dom F i^i dom G ) <-> ( x e. dom F /\ x e. dom G ) )
2019simplbi 476 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( dom F i^i dom G ) -> x e. dom F )
21 ffvelrn 6357 . . . . . . . 8 |- ( ( F : dom F --> CC /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. CC )
223, 20, 21syl2an 494 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
2319simprbi 480 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( dom F i^i dom G ) -> x e. dom G )
24 ffvelrn 6357 . . . . . . . 8 |- ( ( G : dom G --> CC /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) e. CC )
258, 23, 24syl2an 494 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
2622, 25remuld 13958 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( Re ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) = ( ( ( Re ` ( F ` x ) ) x. ( Re ` ( G ` x ) ) ) - ( ( Im ` ( F ` x ) ) x. ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) )
2726mpteq2dva 4744 . . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( ( Re ` ( F ` x ) ) x. ( Re ` ( G ` x ) ) ) - ( ( Im ` ( F ` x ) ) x. ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) ) )
28 inmbl 23310 . . . . . . 7 |- ( ( dom F e. dom vol /\ dom G e. dom vol ) -> ( dom F i^i dom G ) e. dom vol )
2912, 14, 28syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> ( dom F i^i dom G ) e. dom vol )
30 ovexd 6680 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( Re ` ( F ` x ) ) x. ( Re ` ( G ` x ) ) ) e. _V )
31 ovexd 6680 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( Im ` ( F ` x ) ) x. ( Im ` ( G ` x ) ) ) e. _V )
3222recld 13934 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( Re ` ( F ` x ) ) e. RR )
3325recld 13934 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( Re ` ( G ` x ) ) e. RR )
34 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) )
35 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) )
3629, 32, 33, 34, 35offval2 6914 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( Re ` ( F ` x ) ) x. ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) )
3722imcld 13935 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( Im ` ( F ` x ) ) e. RR )
3825imcld 13935 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( Im ` ( G ` x ) ) e. RR )
39 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) )
40 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) )
4129, 37, 38, 39, 40offval2 6914 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( Im ` ( F ` x ) ) x. ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) )
4229, 30, 31, 36, 41offval2 6914 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) oF - ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( ( Re ` ( F ` x ) ) x. ( Re ` ( G ` x ) ) ) - ( ( Im ` ( F ` x ) ) x. ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) ) )
4327, 42eqtr4d 2659 . . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) ) = ( ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) oF - ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) ) )
44 inss1 3833 . . . . . . . . . 10 |- ( dom F i^i dom G ) C_ dom F
45 resmpt 5449 . . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) C_ dom F -> ( ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) |` ( dom F i^i dom G ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( F ` x ) ) )
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) |` ( dom F i^i dom G ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( F ` x ) )
473feqmptd 6249 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F = ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) )
4847, 1eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) e. MblFn )
49 mbfres 23411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) e. MblFn /\ ( dom F i^i dom G ) e. dom vol ) -> ( ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) |` ( dom F i^i dom G ) ) e. MblFn )
5048, 29, 49syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. dom F |-> ( F ` x ) ) |` ( dom F i^i dom G ) ) e. MblFn )
5146, 50syl5eqelr 2706 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( F ` x ) ) e. MblFn )
5222ismbfcn2 23406 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( F ` x ) ) e. MblFn <-> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) e. MblFn /\ ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) e. MblFn ) ) )
5351, 52mpbid 222 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) e. MblFn /\ ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) e. MblFn ) )
5453simpld 475 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) e. MblFn )
55 inss2 3834 . . . . . . . . . 10 |- ( dom F i^i dom G ) C_ dom G
56 resmpt 5449 . . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) C_ dom G -> ( ( x e. dom G |-> ( G ` x ) ) |` ( dom F i^i dom G ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( G ` x ) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. dom G |-> ( G ` x ) ) |` ( dom F i^i dom G ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( G ` x ) )
588feqmptd 6249 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G = ( x e. dom G |-> ( G ` x ) ) )
5958, 6eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. dom G |-> ( G ` x ) ) e. MblFn )
60 mbfres 23411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. dom G |-> ( G ` x ) ) e. MblFn /\ ( dom F i^i dom G ) e. dom vol ) -> ( ( x e. dom G |-> ( G ` x ) ) |` ( dom F i^i dom G ) ) e. MblFn )
6159, 29, 60syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. dom G |-> ( G ` x ) ) |` ( dom F i^i dom G ) ) e. MblFn )
6257, 61syl5eqelr 2706 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( G ` x ) ) e. MblFn )
6325ismbfcn2 23406 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( G ` x ) ) e. MblFn <-> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) e. MblFn /\ ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) e. MblFn ) ) )
6462, 63mpbid 222 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) e. MblFn /\ ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) e. MblFn ) )
6564simpld 475 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) e. MblFn )
66 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) )
6732, 66fmptd 6385 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) : ( dom F i^i dom G ) --> RR )
68 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) )
6933, 68fmptd 6385 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) : ( dom F i^i dom G ) --> RR )
7054, 65, 67, 69mbfmullem 23492 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) e. MblFn )
7153simprd 479 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) e. MblFn )
7264simprd 479 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) e. MblFn )
73 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) )
7437, 73fmptd 6385 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) : ( dom F i^i dom G ) --> RR )
75 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) )
7638, 75fmptd 6385 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) : ( dom F i^i dom G ) --> RR )
7771, 72, 74, 76mbfmullem 23492 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) e. MblFn )
7870, 77mbfsub 23429 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) oF - ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) ) e. MblFn )
7943, 78eqeltrd 2701 . . 3 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) ) e. MblFn )
8022, 25immuld 13959 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( Im ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) = ( ( ( Re ` ( F ` x ) ) x. ( Im ` ( G ` x ) ) ) + ( ( Im ` ( F ` x ) ) x. ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) )
8180mpteq2dva 4744 . . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( ( Re ` ( F ` x ) ) x. ( Im ` ( G ` x ) ) ) + ( ( Im ` ( F ` x ) ) x. ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) ) )
82 ovexd 6680 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( Re ` ( F ` x ) ) x. ( Im ` ( G ` x ) ) ) e. _V )
83 ovexd 6680 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( Im ` ( F ` x ) ) x. ( Re ` ( G ` x ) ) ) e. _V )
8429, 32, 38, 34, 40offval2 6914 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( Re ` ( F ` x ) ) x. ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) )
8529, 37, 33, 39, 35offval2 6914 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( Im ` ( F ` x ) ) x. ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) )
8629, 82, 83, 84, 85offval2 6914 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) oF + ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( ( Re ` ( F ` x ) ) x. ( Im ` ( G ` x ) ) ) + ( ( Im ` ( F ` x ) ) x. ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) ) )
8781, 86eqtr4d 2659 . . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) ) = ( ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) oF + ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) ) )
8854, 72, 67, 76mbfmullem 23492 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) e. MblFn )
8971, 65, 74, 69mbfmullem 23492 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) e. MblFn )
9088, 89mbfadd 23428 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( G ` x ) ) ) ) oF + ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( F ` x ) ) ) oF x. ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( G ` x ) ) ) ) ) e. MblFn )
9187, 90eqeltrd 2701 . . 3 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) ) e. MblFn )
9222, 25mulcld 10060 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) e. CC )
9392ismbfcn2 23406 . . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) e. MblFn <-> ( ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Re ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) ) e. MblFn /\ ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( Im ` ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) ) e. MblFn ) ) )
9479, 91, 93mpbir2and 957 . 2 |- ( ph -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) e. MblFn )
9518, 94eqeltrd 2701 1 |- ( ph -> ( F oF x. G ) e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   Recre 13837   Imcim 13838   volcvol 23232  MblFncmbf 23383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-0p 23437
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