Theorem mbfimaopn2 23424

Description: The preimage of any set open in the subspace topology of the range of the function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfimaopn.1	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
mbfimaopn2.2	|- K = ( J ↾t B )

Assertion

Ref	Expression
mbfimaopn2	|- ( ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) /\ C e. K ) -> ( `' F " C ) e. dom vol )

Proof of Theorem mbfimaopn2

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfimaopn2.2	. . . . 5 |- K = ( J ↾t B )
2	1	eleq2i 2693	. . . 4 |- ( C e. K <-> C e. ( J ↾t B ) )
3		mbfimaopn.1	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
4	3	cnfldtop 22587	. . . . 5 |- J e. Top
5		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) -> B C_ CC )
6		cnex 10017	. . . . . 6 |- CC e. _V
7		ssexg 4804	. . . . . 6 |- ( ( B C_ CC /\ CC e. _V ) -> B e. _V )
8	5, 6, 7	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) -> B e. _V )
9		elrest 16088	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B e. _V ) -> ( C e. ( J ↾t B ) <-> E. u e. J C = ( u i^i B ) ) )
10	4, 8, 9	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) -> ( C e. ( J ↾t B ) <-> E. u e. J C = ( u i^i B ) ) )
11	2, 10	syl5bb 272	. . 3 |- ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) -> ( C e. K <-> E. u e. J C = ( u i^i B ) ) )
12		simpl2 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) /\ u e. J ) -> F : A --> B )
13		ffun 6048	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> Fun F )
14		inpreima 6342	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( `' F " ( u i^i B ) ) = ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " B ) ) )
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) /\ u e. J ) -> ( `' F " ( u i^i B ) ) = ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " B ) ) )
16	3	mbfimaopn 23423	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. MblFn /\ u e. J ) -> ( `' F " u ) e. dom vol )
17	16	3ad2antl1 1223	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) /\ u e. J ) -> ( `' F " u ) e. dom vol )
18		fimacnv 6347	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> ( `' F " B ) = A )
19		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
20	18, 19	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> ( `' F " B ) = dom F )
21	12, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) /\ u e. J ) -> ( `' F " B ) = dom F )
22		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) /\ u e. J ) -> F e. MblFn )
23		mbfdm 23395	. . . . . . . . 9 |- ( F e. MblFn -> dom F e. dom vol )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) /\ u e. J ) -> dom F e. dom vol )
25	21, 24	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) /\ u e. J ) -> ( `' F " B ) e. dom vol )
26		inmbl 23310	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' F " u ) e. dom vol /\ ( `' F " B ) e. dom vol ) -> ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " B ) ) e. dom vol )
27	17, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) /\ u e. J ) -> ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " B ) ) e. dom vol )
28	15, 27	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) /\ u e. J ) -> ( `' F " ( u i^i B ) ) e. dom vol )
29		imaeq2 5462	. . . . . 6 |- ( C = ( u i^i B ) -> ( `' F " C ) = ( `' F " ( u i^i B ) ) )
30	29	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( C = ( u i^i B ) -> ( ( `' F " C ) e. dom vol <-> ( `' F " ( u i^i B ) ) e. dom vol ) )
31	28, 30	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) /\ u e. J ) -> ( C = ( u i^i B ) -> ( `' F " C ) e. dom vol ) )
32	31	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) -> ( E. u e. J C = ( u i^i B ) -> ( `' F " C ) e. dom vol ) )
33	11, 32	sylbid 230	. 2 |- ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) -> ( C e. K -> ( `' F " C ) e. dom vol ) )
34	33	imp 445	1 |- ( ( ( F e. MblFn /\ F : A --> B /\ B C_ CC ) /\ C e. K ) -> ( `' F " C ) e. dom vol )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   volcvol 23232  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  cncombf  23425