Theorem metcld 23104

Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 11-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
metcld.2	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metcld	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X ) -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> A. x A. f ( ( f : NN --> S /\ f ( ~~> t ` J ) x ) -> x e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, f, D   f, J, x   S, f, x   f, X, x

Proof of Theorem metcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcld.2	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopntop 22245	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
3	2	adantr 481	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X ) -> J e. Top )
4	1	mopnuni 22246	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
5	4	sseq2d 3633	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( S C_ X <-> S C_ U. J ) )
6	5	biimpa 501	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X ) -> S C_ U. J )
7		eqid 2622	. . . 4 |- U. J = U. J
8	7	iscld4 20869	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ S ) )
9	3, 6, 8	syl2anc 693	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X ) -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ S ) )
10		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
11		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X ) -> S C_ X )
12	1, 10, 11	metelcls 23103	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` S ) <-> E. f ( f : NN --> S /\ f ( ~~> t ` J ) x ) ) )
13	12	imbi1d 331	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X ) -> ( ( x e. ( ( cls ` J ) ` S ) -> x e. S ) <-> ( E. f ( f : NN --> S /\ f ( ~~> t ` J ) x ) -> x e. S ) ) )
14		19.23v 1902	. . . . 5 |- ( A. f ( ( f : NN --> S /\ f ( ~~> t ` J ) x ) -> x e. S ) <-> ( E. f ( f : NN --> S /\ f ( ~~> t ` J ) x ) -> x e. S ) )
15	13, 14	syl6rbbr 279	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X ) -> ( A. f ( ( f : NN --> S /\ f ( ~~> t ` J ) x ) -> x e. S ) <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` S ) -> x e. S ) ) )
16	15	albidv 1849	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X ) -> ( A. x A. f ( ( f : NN --> S /\ f ( ~~> t ` J ) x ) -> x e. S ) <-> A. x ( x e. ( ( cls ` J ) ` S ) -> x e. S ) ) )
17		dfss2 3591	. . 3 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) C_ S <-> A. x ( x e. ( ( cls ` J ) ` S ) -> x e. S ) )
18	16, 17	syl6bbr 278	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X ) -> ( A. x A. f ( ( f : NN --> S /\ f ( ~~> t ` J ) x ) -> x e. S ) <-> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ S ) )
19	9, 18	bitr4d 271	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ S C_ X ) -> ( S e. ( Clsd ` J ) <-> A. x A. f ( ( f : NN --> S /\ f ( ~~> t ` J ) x ) -> x e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   NNcn 11020   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736   Topctop 20698   Clsdccld 20820   clsccl 20822   ~~> tclm 21030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-lm 21033  df-1stc 21242

This theorem is referenced by:  metcld2  23105