Theorem metdcnlem 22639

Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xmetdcn2.1	|- J = ( MetOpen ` D )
xmetdcn2.2	|- C = ( dist ` RR*s )
xmetdcn2.3	|- K = ( MetOpen ` C )
metdcn.d	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
metdcn.a	|- ( ph -> A e. X )
metdcn.b	|- ( ph -> B e. X )
metdcn.r	|- ( ph -> R e. RR+ )
metdcn.y	|- ( ph -> Y e. X )
metdcn.z	|- ( ph -> Z e. X )
metdcn.4	|- ( ph -> ( A D Y ) < ( R / 2 ) )
metdcn.5	|- ( ph -> ( B D Z ) < ( R / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
metdcnlem	|- ( ph -> ( ( A D B ) C ( Y D Z ) ) < R )

Proof of Theorem metdcnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetdcn2.2	. . . . 5 |- C = ( dist ` RR*s )
2	1	xrsxmet 22612	. . . 4 |- C e. ( *Met ` RR* )
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> C e. ( *Met ` RR* ) )
4		metdcn.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
5		metdcn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. X )
6		metdcn.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. X )
7		xmetcl 22136	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( A D B ) e. RR* )
9		metdcn.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. X )
10		metdcn.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. X )
11		xmetcl 22136	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ Z e. X ) -> ( Y D Z ) e. RR* )
12	4, 9, 10, 11	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( Y D Z ) e. RR* )
13		xmetcl 22136	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ B e. X ) -> ( Y D B ) e. RR* )
14	4, 9, 6, 13	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( Y D B ) e. RR* )
15		metdcn.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. RR+ )
16	15	rphalfcld 11884	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R / 2 ) e. RR+ )
17	16	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ph -> ( R / 2 ) e. RR )
18		xmetcl 22136	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` RR* ) /\ ( A D B ) e. RR* /\ ( Y D B ) e. RR* ) -> ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) e. RR* )
19	3, 8, 14, 18	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) e. RR* )
20		xmetcl 22136	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ Y e. X ) -> ( A D Y ) e. RR* )
21	4, 5, 9, 20	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A D Y ) e. RR* )
22	16	rpxrd 11873	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( R / 2 ) e. RR* )
23	1	xmetrtri2 22161	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ Y e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) <_ ( A D Y ) )
24	4, 5, 9, 6, 23	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) <_ ( A D Y ) )
25		metdcn.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A D Y ) < ( R / 2 ) )
26	19, 21, 22, 24, 25	xrlelttrd 11991	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) < ( R / 2 ) )
27		xrltle 11982	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) e. RR* /\ ( R / 2 ) e. RR* ) -> ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) < ( R / 2 ) -> ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) <_ ( R / 2 ) ) )
28	19, 22, 27	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) < ( R / 2 ) -> ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) <_ ( R / 2 ) ) )
29	26, 28	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) <_ ( R / 2 ) )
30		xmetlecl 22151	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` RR* ) /\ ( ( A D B ) e. RR* /\ ( Y D B ) e. RR* ) /\ ( ( R / 2 ) e. RR /\ ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) <_ ( R / 2 ) ) ) -> ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) e. RR )
31	3, 8, 14, 17, 29, 30	syl122anc 1335	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) e. RR )
32		xmetcl 22136	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( *Met ` RR* ) /\ ( Y D B ) e. RR* /\ ( Y D Z ) e. RR* ) -> ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) e. RR* )
33	3, 14, 12, 32	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) e. RR* )
34		xmetcl 22136	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. X /\ Z e. X ) -> ( B D Z ) e. RR* )
35	4, 6, 10, 34	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B D Z ) e. RR* )
36		xmetsym 22152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ B e. X ) -> ( Y D B ) = ( B D Y ) )
37	4, 9, 6, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y D B ) = ( B D Y ) )
38		xmetsym 22152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ Z e. X ) -> ( Y D Z ) = ( Z D Y ) )
39	4, 9, 10, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y D Z ) = ( Z D Y ) )
40	37, 39	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) = ( ( B D Y ) C ( Z D Y ) ) )
41	1	xmetrtri2 22161	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( B e. X /\ Z e. X /\ Y e. X ) ) -> ( ( B D Y ) C ( Z D Y ) ) <_ ( B D Z ) )
42	4, 6, 10, 9, 41	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B D Y ) C ( Z D Y ) ) <_ ( B D Z ) )
43	40, 42	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) <_ ( B D Z ) )
44		metdcn.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B D Z ) < ( R / 2 ) )
45	33, 35, 22, 43, 44	xrlelttrd 11991	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) < ( R / 2 ) )
46		xrltle 11982	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) e. RR* /\ ( R / 2 ) e. RR* ) -> ( ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) < ( R / 2 ) -> ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) <_ ( R / 2 ) ) )
47	33, 22, 46	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) < ( R / 2 ) -> ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) <_ ( R / 2 ) ) )
48	45, 47	mpd 15	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) <_ ( R / 2 ) )
49		xmetlecl 22151	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` RR* ) /\ ( ( Y D B ) e. RR* /\ ( Y D Z ) e. RR* ) /\ ( ( R / 2 ) e. RR /\ ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) <_ ( R / 2 ) ) ) -> ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) e. RR )
50	3, 14, 12, 17, 48, 49	syl122anc 1335	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) e. RR )
51	31, 50	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) + ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) e. RR )
52		xmettri 22156	. . . . 5 |- ( ( C e. ( *Met ` RR* ) /\ ( ( A D B ) e. RR* /\ ( Y D Z ) e. RR* /\ ( Y D B ) e. RR* ) ) -> ( ( A D B ) C ( Y D Z ) ) <_ ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) +e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
53	3, 8, 12, 14, 52	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A D B ) C ( Y D Z ) ) <_ ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) +e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
54		rexadd 12063	. . . . 5 |- ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) e. RR /\ ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) e. RR ) -> ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) +e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) = ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) + ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
55	31, 50, 54	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) +e ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) = ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) + ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
56	53, 55	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ph -> ( ( A D B ) C ( Y D Z ) ) <_ ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) + ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) )
57		xmetlecl 22151	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` RR* ) /\ ( ( A D B ) e. RR* /\ ( Y D Z ) e. RR* ) /\ ( ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) + ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) e. RR /\ ( ( A D B ) C ( Y D Z ) ) <_ ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) + ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) ) ) -> ( ( A D B ) C ( Y D Z ) ) e. RR )
58	3, 8, 12, 51, 56, 57	syl122anc 1335	. 2 |- ( ph -> ( ( A D B ) C ( Y D Z ) ) e. RR )
59	15	rpred 11872	. 2 |- ( ph -> R e. RR )
60	31, 50, 59, 26, 45	lt2halvesd 11280	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A D B ) C ( Y D B ) ) + ( ( Y D B ) C ( Y D Z ) ) ) < R )
61	58, 51, 59, 56, 60	lelttrd 10195	1 |- ( ph -> ( ( A D B ) C ( Y D Z ) ) < R )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   +ecxad 11944   distcds 15950   RR*scxrs 16160   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-xrs 16162  df-xmet 19739

This theorem is referenced by:  xmetdcn2  22640