Theorem ncoprmlnprm 15436

Description: If two positive integers are not coprime, the larger of them is not a prime number. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ncoprmlnprm	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( 1 < ( A gcd B ) -> B e/ Prime ) )

Proof of Theorem ncoprmlnprm

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncoprmgcdgt1b 15364	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. i e. ( ZZ>= ` 2 ) ( i || A /\ i || B ) <-> 1 < ( A gcd B ) ) )
2	1	bicomd 213	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 1 < ( A gcd B ) <-> E. i e. ( ZZ>= ` 2 ) ( i || A /\ i || B ) ) )
3	2	3adant3 1081	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( 1 < ( A gcd B ) <-> E. i e. ( ZZ>= ` 2 ) ( i || A /\ i || B ) ) )
4		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) -> A e. NN )
5		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) -> i e. ZZ )
6	4, 5	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i e. ZZ /\ A e. NN ) )
7		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i e. ZZ /\ A e. NN ) -> ( i || A -> i <_ A ) )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i || A -> i <_ A ) )
9		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. NN -> A e. RR )
10		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B e. NN -> B e. RR )
11		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) -> i e. RR )
12	9, 10, 11	3anim123i 1247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ i e. RR ) )
13		3anrot 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) <-> ( A e. RR /\ B e. RR /\ i e. RR ) )
14	12, 13	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) )
15		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( i <_ A /\ A < B ) -> i < B ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( i <_ A /\ A < B ) -> i < B ) )
17	16	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A < B -> ( i <_ A -> i < B ) ) )
18	17	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. NN -> ( B e. NN -> ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A < B -> ( i <_ A -> i < B ) ) ) ) )
19	18	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. NN -> ( B e. NN -> ( A < B -> ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( i <_ A -> i < B ) ) ) ) )
20	19	3imp1 1280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i <_ A -> i < B ) )
21	20	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ i <_ A ) -> i < B )
22		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
23	22	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) -> B e. ZZ )
24	23, 5	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ i <_ A ) -> ( i e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
26		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( i < B <-> i <_ ( B - 1 ) ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ i <_ A ) -> ( i < B <-> i <_ ( B - 1 ) ) )
28	21, 27	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ i <_ A ) -> i <_ ( B - 1 ) )
29	28	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i <_ A -> i <_ ( B - 1 ) ) )
30	8, 29	syldc 48	. . . . . . . . . . 11 |- ( i || A -> ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> i <_ ( B - 1 ) ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i || A /\ i || B ) -> ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> i <_ ( B - 1 ) ) )
32	31	impcom 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> i <_ ( B - 1 ) )
33		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
34	22, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. NN -> ( B - 1 ) e. ZZ )
35	34	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
36	35	anim1i 592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( B - 1 ) e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
37	36	ancomd 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( B - 1 ) e. ZZ ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( B - 1 ) e. ZZ ) )
39		elfz5 12334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( B - 1 ) e. ZZ ) -> ( i e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) <-> i <_ ( B - 1 ) ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> ( i e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) <-> i <_ ( B - 1 ) ) )
41	32, 40	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> i e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) )
42		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> ( j || B <-> i || B ) )
43	42	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) /\ j = i ) -> ( j || B <-> i || B ) )
44		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> i || B )
45	41, 43, 44	rspcedvd 3317	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> E. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) j || B )
46		rexnal 2995	. . . . . . . 8 |- ( E. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. -. j || B <-> -. A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B )
47		notnotb 304	. . . . . . . . . 10 |- ( j || B <-> -. -. j || B )
48	47	bicomi 214	. . . . . . . . 9 |- ( -. -. j || B <-> j || B )
49	48	rexbii 3041	. . . . . . . 8 |- ( E. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. -. j || B <-> E. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) j || B )
50	46, 49	bitr3i 266	. . . . . . 7 |- ( -. A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B <-> E. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) j || B )
51	45, 50	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> -. A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B )
52	51	olcd 408	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> ( -. B e. ( ZZ>= ` 2 ) \/ -. A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B ) )
53		df-nel 2898	. . . . . 6 |- ( B e/ Prime <-> -. B e. Prime )
54		ianor 509	. . . . . . 7 |- ( -. ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B ) <-> ( -. B e. ( ZZ>= ` 2 ) \/ -. A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B ) )
55		isprm3 15396	. . . . . . 7 |- ( B e. Prime <-> ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B ) )
56	54, 55	xchnxbir 323	. . . . . 6 |- ( -. B e. Prime <-> ( -. B e. ( ZZ>= ` 2 ) \/ -. A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B ) )
57	53, 56	bitri 264	. . . . 5 |- ( B e/ Prime <-> ( -. B e. ( ZZ>= ` 2 ) \/ -. A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B ) )
58	52, 57	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> B e/ Prime )
59	58	ex 450	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( i || A /\ i || B ) -> B e/ Prime ) )
60	59	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( E. i e. ( ZZ>= ` 2 ) ( i || A /\ i || B ) -> B e/ Prime ) )
61	3, 60	sylbid 230	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( 1 < ( A gcd B ) -> B e/ Prime ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  prmgaplem7  15761