Theorem isprm3 15396

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm3	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )

Distinct variable group:   z, P

Proof of Theorem isprm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 15395	. 2 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
2		iman 440	. . . . . . 7 |- ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) )
3		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
4		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
5		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( z || P -> z <_ P ) )
6	4, 5	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> ( z || P -> z <_ P ) )
7		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. NN -> 1 <_ z )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> 1 <_ z )
9	6, 8	jctild 566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. NN /\ P e. NN ) -> ( z || P -> ( 1 <_ z /\ z <_ P ) ) )
10	3, 9	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z || P -> ( 1 <_ z /\ z <_ P ) ) )
11		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
12		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. NN -> P e. RR )
13		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. RR
14		leltne 10127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 e. RR /\ z e. RR /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) )
15	13, 14	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. RR /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) )
16	15	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. RR /\ P e. RR /\ 1 <_ z ) -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) )
17	16	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. RR /\ P e. RR ) -> ( 1 <_ z -> ( 1 < z <-> z =/= 1 ) ) )
18		leltne 10127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. RR /\ P e. RR /\ z <_ P ) -> ( z < P <-> P =/= z ) )
19	18	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. RR /\ P e. RR ) -> ( z <_ P -> ( z < P <-> P =/= z ) ) )
20	17, 19	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) ) )
21	11, 12, 20	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) ) )
22		pm4.38 916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> ( z =/= 1 /\ P =/= z ) ) )
23		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z =/= 1 <-> -. z = 1 )
24		nesym 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P =/= z <-> -. z = P )
25	23, 24	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z =/= 1 /\ P =/= z ) <-> ( -. z = 1 /\ -. z = P ) )
26		ioran 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> ( -. z = 1 /\ -. z = P ) )
27	25, 26	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z =/= 1 /\ P =/= z ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) )
28	22, 27	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 < z <-> z =/= 1 ) /\ ( z < P <-> P =/= z ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) )
29	21, 28	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
30	4, 3, 29	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 <_ z /\ z <_ P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
31	10, 30	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( z || P -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
32	31	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> -. ( z = 1 \/ z = P ) ) )
33		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. ZZ )
34		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. ZZ
35		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( 1 < z <-> ( 1 + 1 ) <_ z ) )
36	34, 35	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ZZ -> ( 1 < z <-> ( 1 + 1 ) <_ z ) )
37		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 = ( 1 + 1 )
38	37	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 <_ z <-> ( 1 + 1 ) <_ z )
39	36, 38	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ZZ -> ( 1 < z <-> 2 <_ z ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 1 < z <-> 2 <_ z ) )
41		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z < P <-> z <_ ( P - 1 ) ) )
42	40, 41	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
43		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
44		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ZZ
45		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
46	44, 45	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ZZ /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
47	43, 46	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( 2 <_ z /\ z <_ ( P - 1 ) ) ) )
48	42, 47	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
49	4, 33, 48	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( ( 1 < z /\ z < P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
51	32, 50	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. NN /\ P e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ z || P ) -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
52	51	anasss 679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. NN /\ ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) ) -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
53	52	expcom 451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( z e. NN -> ( -. ( z = 1 \/ z = P ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
54	53	pm5.32d 671	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> ( z e. NN /\ z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
55		fzssuz 12382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 2 )
56		2eluzge1 11734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
57		uzss 11708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 2 ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
59	55, 58	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
60		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
61	59, 60	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 ... ( P - 1 ) ) C_ NN
62	61	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> z e. NN )
63	62	pm4.71ri 665	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) <-> ( z e. NN /\ z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
64	54, 63	syl6bbr 278	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
65	64	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( -. ( z e. NN /\ -. ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
66	2, 65	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ z || P ) -> ( ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) )
67	66	pm5.74da 723	. . . . 5 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z || P -> ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z || P -> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) ) )
68		bi2.04 376	. . . . 5 |- ( ( z || P -> ( z e. NN -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
69		con2b 349	. . . . 5 |- ( ( z || P -> -. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) ) <-> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> -. z || P ) )
70	67, 68, 69	3bitr3g 302	. . . 4 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( z e. NN -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -> -. z || P ) ) )
71	70	ralbidv2 2984	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) <-> A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )
72	71	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )
73	1, 72	bitri 264	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. ( 2 ... ( P - 1 ) ) -. z || P ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   || cdvds 14983   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  prmind2  15398  2prm  15405  3prm  15406  ncoprmlnprm  15436  wilth  24797  mersenne  24952  chtvalz  30707