Theorem nlmdsdir 22486

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmdsdi.v	|- V = ( Base ` W )
nlmdsdi.s	|- .x. = ( .s ` W )
nlmdsdi.f	|- F = (Scalar ` W )
nlmdsdi.k	|- K = ( Base ` F )
nlmdsdi.d	|- D = ( dist ` W )
nlmdsdir.n	|- N = ( norm ` W )
nlmdsdir.e	|- E = ( dist ` F )

Assertion

Ref	Expression
nlmdsdir	|- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> ( ( X E Y ) x. ( N ` Z ) ) = ( ( X .x. Z ) D ( Y .x. Z ) ) )

Proof of Theorem nlmdsdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . 4 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> W e. NrmMod )
2		nlmdsdi.f	. . . . . . . 8 |- F = (Scalar ` W )
3	2	nlmngp2 22484	. . . . . . 7 |- ( W e. NrmMod -> F e. NrmGrp )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> F e. NrmGrp )
5		ngpgrp 22403	. . . . . 6 |- ( F e. NrmGrp -> F e. Grp )
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> F e. Grp )
7		simpr1 1067	. . . . 5 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> X e. K )
8		simpr2 1068	. . . . 5 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> Y e. K )
9		nlmdsdi.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` F )
10		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( -g ` F ) = ( -g ` F )
11	9, 10	grpsubcl 17495	. . . . 5 |- ( ( F e. Grp /\ X e. K /\ Y e. K ) -> ( X ( -g ` F ) Y ) e. K )
12	6, 7, 8, 11	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> ( X ( -g ` F ) Y ) e. K )
13		simpr3 1069	. . . 4 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> Z e. V )
14		nlmdsdi.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
15		nlmdsdir.n	. . . . 5 |- N = ( norm ` W )
16		nlmdsdi.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
17		eqid 2622	. . . . 5 |- ( norm ` F ) = ( norm ` F )
18	14, 15, 16, 2, 9, 17	nmvs 22480	. . . 4 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X ( -g ` F ) Y ) e. K /\ Z e. V ) -> ( N ` ( ( X ( -g ` F ) Y ) .x. Z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` ( X ( -g ` F ) Y ) ) x. ( N ` Z ) ) )
19	1, 12, 13, 18	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> ( N ` ( ( X ( -g ` F ) Y ) .x. Z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` ( X ( -g ` F ) Y ) ) x. ( N ` Z ) ) )
20		eqid 2622	. . . . 5 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
21		nlmlmod 22482	. . . . . 6 |- ( W e. NrmMod -> W e. LMod )
22	21	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> W e. LMod )
23	14, 16, 2, 9, 20, 10, 22, 7, 8, 13	lmodsubdir 18921	. . . 4 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> ( ( X ( -g ` F ) Y ) .x. Z ) = ( ( X .x. Z ) ( -g ` W ) ( Y .x. Z ) ) )
24	23	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> ( N ` ( ( X ( -g ` F ) Y ) .x. Z ) ) = ( N ` ( ( X .x. Z ) ( -g ` W ) ( Y .x. Z ) ) ) )
25	19, 24	eqtr3d 2658	. 2 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> ( ( ( norm ` F ) ` ( X ( -g ` F ) Y ) ) x. ( N ` Z ) ) = ( N ` ( ( X .x. Z ) ( -g ` W ) ( Y .x. Z ) ) ) )
26		nlmdsdir.e	. . . . 5 |- E = ( dist ` F )
27	17, 9, 10, 26	ngpds 22408	. . . 4 |- ( ( F e. NrmGrp /\ X e. K /\ Y e. K ) -> ( X E Y ) = ( ( norm ` F ) ` ( X ( -g ` F ) Y ) ) )
28	4, 7, 8, 27	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> ( X E Y ) = ( ( norm ` F ) ` ( X ( -g ` F ) Y ) ) )
29	28	oveq1d 6665	. 2 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> ( ( X E Y ) x. ( N ` Z ) ) = ( ( ( norm ` F ) ` ( X ( -g ` F ) Y ) ) x. ( N ` Z ) ) )
30		nlmngp 22481	. . . 4 |- ( W e. NrmMod -> W e. NrmGrp )
31	30	adantr 481	. . 3 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> W e. NrmGrp )
32	14, 2, 16, 9	lmodvscl 18880	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K /\ Z e. V ) -> ( X .x. Z ) e. V )
33	22, 7, 13, 32	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> ( X .x. Z ) e. V )
34	14, 2, 16, 9	lmodvscl 18880	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. K /\ Z e. V ) -> ( Y .x. Z ) e. V )
35	22, 8, 13, 34	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> ( Y .x. Z ) e. V )
36		nlmdsdi.d	. . . 4 |- D = ( dist ` W )
37	15, 14, 20, 36	ngpds 22408	. . 3 |- ( ( W e. NrmGrp /\ ( X .x. Z ) e. V /\ ( Y .x. Z ) e. V ) -> ( ( X .x. Z ) D ( Y .x. Z ) ) = ( N ` ( ( X .x. Z ) ( -g ` W ) ( Y .x. Z ) ) ) )
38	31, 33, 35, 37	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> ( ( X .x. Z ) D ( Y .x. Z ) ) = ( N ` ( ( X .x. Z ) ( -g ` W ) ( Y .x. Z ) ) ) )
39	25, 29, 38	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( X e. K /\ Y e. K /\ Z e. V ) ) -> ( ( X E Y ) x. ( N ` Z ) ) = ( ( X .x. Z ) D ( Y .x. Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   x. cmul 9941   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   distcds 15950   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   LModclmod 18863   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  NrmModcnlm 22385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391

This theorem is referenced by:  nlmvscnlem2  22489