Theorem nlmvscnlem2 22489

Description: Lemma for nlmvscn 22491. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 14326 for continuity of multiplication on CC. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmvscn.f	|- F = (Scalar ` W )
nlmvscn.v	|- V = ( Base ` W )
nlmvscn.k	|- K = ( Base ` F )
nlmvscn.d	|- D = ( dist ` W )
nlmvscn.e	|- E = ( dist ` F )
nlmvscn.n	|- N = ( norm ` W )
nlmvscn.a	|- A = ( norm ` F )
nlmvscn.s	|- .x. = ( .s ` W )
nlmvscn.t	|- T = ( ( R / 2 ) / ( ( A ` B ) + 1 ) )
nlmvscn.u	|- U = ( ( R / 2 ) / ( ( N ` X ) + T ) )
nlmvscn.w	|- ( ph -> W e. NrmMod )
nlmvscn.r	|- ( ph -> R e. RR+ )
nlmvscn.b	|- ( ph -> B e. K )
nlmvscn.x	|- ( ph -> X e. V )
nlmvscn.c	|- ( ph -> C e. K )
nlmvscn.y	|- ( ph -> Y e. V )
nlmvscn.1	|- ( ph -> ( B E C ) < U )
nlmvscn.2	|- ( ph -> ( X D Y ) < T )

Assertion

Ref	Expression
nlmvscnlem2	|- ( ph -> ( ( B .x. X ) D ( C .x. Y ) ) < R )

Proof of Theorem nlmvscnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmvscn.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. NrmMod )
2		nlmngp 22481	. . . . 5 |- ( W e. NrmMod -> W e. NrmGrp )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> W e. NrmGrp )
4		ngpms 22404	. . . 4 |- ( W e. NrmGrp -> W e. MetSp )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( ph -> W e. MetSp )
6		nlmlmod 22482	. . . . 5 |- ( W e. NrmMod -> W e. LMod )
7	1, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
8		nlmvscn.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. K )
9		nlmvscn.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
10		nlmvscn.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
11		nlmvscn.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
12		nlmvscn.s	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
13		nlmvscn.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
14	10, 11, 12, 13	lmodvscl 18880	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ B e. K /\ X e. V ) -> ( B .x. X ) e. V )
15	7, 8, 9, 14	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( B .x. X ) e. V )
16		nlmvscn.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. K )
17		nlmvscn.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
18	10, 11, 12, 13	lmodvscl 18880	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ C e. K /\ Y e. V ) -> ( C .x. Y ) e. V )
19	7, 16, 17, 18	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( C .x. Y ) e. V )
20		nlmvscn.d	. . . 4 |- D = ( dist ` W )
21	10, 20	mscl 22266	. . 3 |- ( ( W e. MetSp /\ ( B .x. X ) e. V /\ ( C .x. Y ) e. V ) -> ( ( B .x. X ) D ( C .x. Y ) ) e. RR )
22	5, 15, 19, 21	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( ( B .x. X ) D ( C .x. Y ) ) e. RR )
23	10, 11, 12, 13	lmodvscl 18880	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ B e. K /\ Y e. V ) -> ( B .x. Y ) e. V )
24	7, 8, 17, 23	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( B .x. Y ) e. V )
25	10, 20	mscl 22266	. . . 4 |- ( ( W e. MetSp /\ ( B .x. X ) e. V /\ ( B .x. Y ) e. V ) -> ( ( B .x. X ) D ( B .x. Y ) ) e. RR )
26	5, 15, 24, 25	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( B .x. X ) D ( B .x. Y ) ) e. RR )
27	10, 20	mscl 22266	. . . 4 |- ( ( W e. MetSp /\ ( B .x. Y ) e. V /\ ( C .x. Y ) e. V ) -> ( ( B .x. Y ) D ( C .x. Y ) ) e. RR )
28	5, 24, 19, 27	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( B .x. Y ) D ( C .x. Y ) ) e. RR )
29	26, 28	readdcld 10069	. 2 |- ( ph -> ( ( ( B .x. X ) D ( B .x. Y ) ) + ( ( B .x. Y ) D ( C .x. Y ) ) ) e. RR )
30		nlmvscn.r	. . 3 |- ( ph -> R e. RR+ )
31	30	rpred 11872	. 2 |- ( ph -> R e. RR )
32	10, 20	mstri 22274	. . 3 |- ( ( W e. MetSp /\ ( ( B .x. X ) e. V /\ ( C .x. Y ) e. V /\ ( B .x. Y ) e. V ) ) -> ( ( B .x. X ) D ( C .x. Y ) ) <_ ( ( ( B .x. X ) D ( B .x. Y ) ) + ( ( B .x. Y ) D ( C .x. Y ) ) ) )
33	5, 15, 19, 24, 32	syl13anc 1328	. 2 |- ( ph -> ( ( B .x. X ) D ( C .x. Y ) ) <_ ( ( ( B .x. X ) D ( B .x. Y ) ) + ( ( B .x. Y ) D ( C .x. Y ) ) ) )
34	11	nlmngp2 22484	. . . . . . . . 9 |- ( W e. NrmMod -> F e. NrmGrp )
35	1, 34	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. NrmGrp )
36		nlmvscn.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( norm ` F )
37	13, 36	nmcl 22420	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NrmGrp /\ B e. K ) -> ( A ` B ) e. RR )
38	35, 8, 37	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` B ) e. RR )
39	13, 36	nmge0 22421	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NrmGrp /\ B e. K ) -> 0 <_ ( A ` B ) )
40	35, 8, 39	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( A ` B ) )
41	38, 40	ge0p1rpd 11902	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A ` B ) + 1 ) e. RR+ )
42	41	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ` B ) + 1 ) e. RR )
43	10, 20	mscl 22266	. . . . . 6 |- ( ( W e. MetSp /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X D Y ) e. RR )
44	5, 9, 17, 43	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( X D Y ) e. RR )
45	42, 44	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A ` B ) + 1 ) x. ( X D Y ) ) e. RR )
46	31	rehalfcld 11279	. . . 4 |- ( ph -> ( R / 2 ) e. RR )
47	10, 12, 11, 13, 20, 36	nlmdsdi 22485	. . . . . 6 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( B e. K /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( A ` B ) x. ( X D Y ) ) = ( ( B .x. X ) D ( B .x. Y ) ) )
48	1, 8, 9, 17, 47	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ` B ) x. ( X D Y ) ) = ( ( B .x. X ) D ( B .x. Y ) ) )
49		msxms 22259	. . . . . . . 8 |- ( W e. MetSp -> W e. *MetSp )
50	5, 49	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. *MetSp )
51	10, 20	xmsge0 22268	. . . . . . 7 |- ( ( W e. *MetSp /\ X e. V /\ Y e. V ) -> 0 <_ ( X D Y ) )
52	50, 9, 17, 51	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( X D Y ) )
53	38	lep1d 10955	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ` B ) <_ ( ( A ` B ) + 1 ) )
54	38, 42, 44, 52, 53	lemul1ad 10963	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A ` B ) x. ( X D Y ) ) <_ ( ( ( A ` B ) + 1 ) x. ( X D Y ) ) )
55	48, 54	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B .x. X ) D ( B .x. Y ) ) <_ ( ( ( A ` B ) + 1 ) x. ( X D Y ) ) )
56		nlmvscn.2	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X D Y ) < T )
57		nlmvscn.t	. . . . . 6 |- T = ( ( R / 2 ) / ( ( A ` B ) + 1 ) )
58	56, 57	syl6breq 4694	. . . . 5 |- ( ph -> ( X D Y ) < ( ( R / 2 ) / ( ( A ` B ) + 1 ) ) )
59	44, 46, 41	ltmuldiv2d 11920	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A ` B ) + 1 ) x. ( X D Y ) ) < ( R / 2 ) <-> ( X D Y ) < ( ( R / 2 ) / ( ( A ` B ) + 1 ) ) ) )
60	58, 59	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A ` B ) + 1 ) x. ( X D Y ) ) < ( R / 2 ) )
61	26, 45, 46, 55, 60	lelttrd 10195	. . 3 |- ( ph -> ( ( B .x. X ) D ( B .x. Y ) ) < ( R / 2 ) )
62		ngpms 22404	. . . . . . 7 |- ( F e. NrmGrp -> F e. MetSp )
63	35, 62	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. MetSp )
64		nlmvscn.e	. . . . . . 7 |- E = ( dist ` F )
65	13, 64	mscl 22266	. . . . . 6 |- ( ( F e. MetSp /\ B e. K /\ C e. K ) -> ( B E C ) e. RR )
66	63, 8, 16, 65	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( B E C ) e. RR )
67		nlmvscn.n	. . . . . . . 8 |- N = ( norm ` W )
68	10, 67	nmcl 22420	. . . . . . 7 |- ( ( W e. NrmGrp /\ X e. V ) -> ( N ` X ) e. RR )
69	3, 9, 68	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` X ) e. RR )
70	30	rphalfcld 11884	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R / 2 ) e. RR+ )
71	70, 41	rpdivcld 11889	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( R / 2 ) / ( ( A ` B ) + 1 ) ) e. RR+ )
72	57, 71	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. RR+ )
73	72	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. RR )
74	69, 73	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` X ) + T ) e. RR )
75	66, 74	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B E C ) x. ( ( N ` X ) + T ) ) e. RR )
76	10, 12, 11, 13, 20, 67, 64	nlmdsdir 22486	. . . . . 6 |- ( ( W e. NrmMod /\ ( B e. K /\ C e. K /\ Y e. V ) ) -> ( ( B E C ) x. ( N ` Y ) ) = ( ( B .x. Y ) D ( C .x. Y ) ) )
77	1, 8, 16, 17, 76	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B E C ) x. ( N ` Y ) ) = ( ( B .x. Y ) D ( C .x. Y ) ) )
78	10, 67	nmcl 22420	. . . . . . 7 |- ( ( W e. NrmGrp /\ Y e. V ) -> ( N ` Y ) e. RR )
79	3, 17, 78	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` Y ) e. RR )
80		msxms 22259	. . . . . . . 8 |- ( F e. MetSp -> F e. *MetSp )
81	63, 80	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. *MetSp )
82	13, 64	xmsge0 22268	. . . . . . 7 |- ( ( F e. *MetSp /\ B e. K /\ C e. K ) -> 0 <_ ( B E C ) )
83	81, 8, 16, 82	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( B E C ) )
84	79, 69	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N ` Y ) - ( N ` X ) ) e. RR )
85		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
86	10, 67, 85	nm2dif 22429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. NrmGrp /\ Y e. V /\ X e. V ) -> ( ( N ` Y ) - ( N ` X ) ) <_ ( N ` ( Y ( -g ` W ) X ) ) )
87	3, 17, 9, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N ` Y ) - ( N ` X ) ) <_ ( N ` ( Y ( -g ` W ) X ) ) )
88	67, 10, 85, 20	ngpdsr 22409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. NrmGrp /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X D Y ) = ( N ` ( Y ( -g ` W ) X ) ) )
89	3, 9, 17, 88	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X D Y ) = ( N ` ( Y ( -g ` W ) X ) ) )
90	87, 89	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N ` Y ) - ( N ` X ) ) <_ ( X D Y ) )
91	44, 73, 56	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X D Y ) <_ T )
92	84, 44, 73, 90, 91	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N ` Y ) - ( N ` X ) ) <_ T )
93	79, 69, 73	lesubadd2d 10626	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( N ` Y ) - ( N ` X ) ) <_ T <-> ( N ` Y ) <_ ( ( N ` X ) + T ) ) )
94	92, 93	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` Y ) <_ ( ( N ` X ) + T ) )
95	79, 74, 66, 83, 94	lemul2ad 10964	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B E C ) x. ( N ` Y ) ) <_ ( ( B E C ) x. ( ( N ` X ) + T ) ) )
96	77, 95	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B .x. Y ) D ( C .x. Y ) ) <_ ( ( B E C ) x. ( ( N ` X ) + T ) ) )
97		nlmvscn.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B E C ) < U )
98		nlmvscn.u	. . . . . 6 |- U = ( ( R / 2 ) / ( ( N ` X ) + T ) )
99	97, 98	syl6breq 4694	. . . . 5 |- ( ph -> ( B E C ) < ( ( R / 2 ) / ( ( N ` X ) + T ) ) )
100		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
101	10, 67	nmge0 22421	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. NrmGrp /\ X e. V ) -> 0 <_ ( N ` X ) )
102	3, 9, 101	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( N ` X ) )
103	69, 72	ltaddrpd 11905	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` X ) < ( ( N ` X ) + T ) )
104	100, 69, 74, 102, 103	lelttrd 10195	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( ( N ` X ) + T ) )
105		ltmuldiv 10896	. . . . . 6 |- ( ( ( B E C ) e. RR /\ ( R / 2 ) e. RR /\ ( ( ( N ` X ) + T ) e. RR /\ 0 < ( ( N ` X ) + T ) ) ) -> ( ( ( B E C ) x. ( ( N ` X ) + T ) ) < ( R / 2 ) <-> ( B E C ) < ( ( R / 2 ) / ( ( N ` X ) + T ) ) ) )
106	66, 46, 74, 104, 105	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( B E C ) x. ( ( N ` X ) + T ) ) < ( R / 2 ) <-> ( B E C ) < ( ( R / 2 ) / ( ( N ` X ) + T ) ) ) )
107	99, 106	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B E C ) x. ( ( N ` X ) + T ) ) < ( R / 2 ) )
108	28, 75, 46, 96, 107	lelttrd 10195	. . 3 |- ( ph -> ( ( B .x. Y ) D ( C .x. Y ) ) < ( R / 2 ) )
109	26, 28, 31, 61, 108	lt2halvesd 11280	. 2 |- ( ph -> ( ( ( B .x. X ) D ( B .x. Y ) ) + ( ( B .x. Y ) D ( C .x. Y ) ) ) < R )
110	22, 29, 31, 33, 109	lelttrd 10195	1 |- ( ph -> ( ( B .x. X ) D ( C .x. Y ) ) < R )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   distcds 15950   -gcsg 17424   LModclmod 18863   *MetSpcxme 22122   MetSpcmt 22123   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  NrmModcnlm 22385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-xrs 16162  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391

This theorem is referenced by:  nlmvscnlem1  22490