Theorem nmoix 22533

Description: The operator norm is a bound on the size of an operator, even when it is infinite (using extended real multiplication). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	|- N = ( S normOp T )
nmoi.2	|- V = ( Base ` S )
nmoi.3	|- L = ( norm ` S )
nmoi.4	|- M = ( norm ` T )

Assertion

Ref	Expression
nmoix	|- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( ( N ` F ) xe ( L ` X ) ) )

Proof of Theorem nmoix

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmofval.1	. . . . . . 7 |- N = ( S normOp T )
2	1	isnghm2 22528	. . . . . 6 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> ( F e. ( S NGHom T ) <-> ( N ` F ) e. RR ) )
3	2	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( N ` F ) e. RR ) -> F e. ( S NGHom T ) )
4		nmoi.2	. . . . . 6 |- V = ( Base ` S )
5		nmoi.3	. . . . . 6 |- L = ( norm ` S )
6		nmoi.4	. . . . . 6 |- M = ( norm ` T )
7	1, 4, 5, 6	nmoi 22532	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( ( N ` F ) x. ( L ` X ) ) )
8	3, 7	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( N ` F ) e. RR ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( ( N ` F ) x. ( L ` X ) ) )
9	8	an32s 846	. . 3 |- ( ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) /\ ( N ` F ) e. RR ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( ( N ` F ) x. ( L ` X ) ) )
10		id 22	. . . 4 |- ( ( N ` F ) e. RR -> ( N ` F ) e. RR )
11	4, 5	nmcl 22420	. . . . 5 |- ( ( S e. NrmGrp /\ X e. V ) -> ( L ` X ) e. RR )
12	11	3ad2antl1 1223	. . . 4 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( L ` X ) e. RR )
13		rexmul 12101	. . . 4 |- ( ( ( N ` F ) e. RR /\ ( L ` X ) e. RR ) -> ( ( N ` F ) xe ( L ` X ) ) = ( ( N ` F ) x. ( L ` X ) ) )
14	10, 12, 13	syl2anr 495	. . 3 |- ( ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) /\ ( N ` F ) e. RR ) -> ( ( N ` F ) xe ( L ` X ) ) = ( ( N ` F ) x. ( L ` X ) ) )
15	9, 14	breqtrrd 4681	. 2 |- ( ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) /\ ( N ` F ) e. RR ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( ( N ` F ) xe ( L ` X ) ) )
16		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( X = ( 0g ` S ) -> ( F ` X ) = ( F ` ( 0g ` S ) ) )
17	16	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( X = ( 0g ` S ) -> ( M ` ( F ` X ) ) = ( M ` ( F ` ( 0g ` S ) ) ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( X = ( 0g ` S ) -> ( L ` X ) = ( L ` ( 0g ` S ) ) )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( X = ( 0g ` S ) -> ( +oo xe ( L ` X ) ) = ( +oo xe ( L ` ( 0g ` S ) ) ) )
20	17, 19	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( X = ( 0g ` S ) -> ( ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( +oo xe ( L ` X ) ) <-> ( M ` ( F ` ( 0g ` S ) ) ) <_ ( +oo xe ( L ` ( 0g ` S ) ) ) ) )
21		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> T e. NrmGrp )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
23	4, 22	ghmf 17664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : V --> ( Base ` T ) )
24	23	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. ( Base ` T ) )
25	24	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. ( Base ` T ) )
26	22, 6	nmcl 22420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. NrmGrp /\ ( F ` X ) e. ( Base ` T ) ) -> ( M ` ( F ` X ) ) e. RR )
27	21, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` X ) ) e. RR )
28	27	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( M ` ( F ` X ) ) e. RR )
29	28	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( M ` ( F ` X ) ) e. RR* )
30		pnfge 11964	. . . . . . 7 |- ( ( M ` ( F ` X ) ) e. RR* -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ +oo )
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ +oo )
32		simp1 1061	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> S e. NrmGrp )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
34	4, 5, 33	nmrpcl 22424	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. NrmGrp /\ X e. V /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( L ` X ) e. RR+ )
35	34	3expa 1265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( L ` X ) e. RR+ )
36	32, 35	sylanl1 682	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( L ` X ) e. RR+ )
37		rpxr 11840	. . . . . . . 8 |- ( ( L ` X ) e. RR+ -> ( L ` X ) e. RR* )
38		rpgt0 11844	. . . . . . . 8 |- ( ( L ` X ) e. RR+ -> 0 < ( L ` X ) )
39		xmulpnf2 12105	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L ` X ) e. RR* /\ 0 < ( L ` X ) ) -> ( +oo xe ( L ` X ) ) = +oo )
40	37, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( L ` X ) e. RR+ -> ( +oo xe ( L ` X ) ) = +oo )
41	36, 40	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( +oo xe ( L ` X ) ) = +oo )
42	31, 41	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( +oo xe ( L ` X ) ) )
43		0le0 11110	. . . . . 6 |- 0 <_ 0
44		simpl3 1066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
45		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
46	33, 45	ghmid 17666	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
47	44, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
48	47	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` ( 0g ` S ) ) ) = ( M ` ( 0g ` T ) ) )
49	6, 45	nm0 22433	. . . . . . . . 9 |- ( T e. NrmGrp -> ( M ` ( 0g ` T ) ) = 0 )
50	21, 49	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( 0g ` T ) ) = 0 )
51	48, 50	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` ( 0g ` S ) ) ) = 0 )
52		simpl1 1064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> S e. NrmGrp )
53	5, 33	nm0 22433	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. NrmGrp -> ( L ` ( 0g ` S ) ) = 0 )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( L ` ( 0g ` S ) ) = 0 )
55	54	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( +oo xe ( L ` ( 0g ` S ) ) ) = ( +oo xe 0 ) )
56		pnfxr 10092	. . . . . . . . 9 |- +oo e. RR*
57		xmul01 12097	. . . . . . . . 9 |- ( +oo e. RR* -> ( +oo xe 0 ) = 0 )
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( +oo xe 0 ) = 0
59	55, 58	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( +oo xe ( L ` ( 0g ` S ) ) ) = 0 )
60	51, 59	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( ( M ` ( F ` ( 0g ` S ) ) ) <_ ( +oo xe ( L ` ( 0g ` S ) ) ) <-> 0 <_ 0 ) )
61	43, 60	mpbiri 248	. . . . 5 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` ( 0g ` S ) ) ) <_ ( +oo xe ( L ` ( 0g ` S ) ) ) )
62	20, 42, 61	pm2.61ne 2879	. . . 4 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( +oo xe ( L ` X ) ) )
63	62	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) /\ ( N ` F ) = +oo ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( +oo xe ( L ` X ) ) )
64		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) /\ ( N ` F ) = +oo ) -> ( N ` F ) = +oo )
65	64	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) /\ ( N ` F ) = +oo ) -> ( ( N ` F ) xe ( L ` X ) ) = ( +oo xe ( L ` X ) ) )
66	63, 65	breqtrrd 4681	. 2 |- ( ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) /\ ( N ` F ) = +oo ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( ( N ` F ) xe ( L ` X ) ) )
67	1	nmocl 22524	. . . . 5 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> ( N ` F ) e. RR* )
68	1	nmoge0 22525	. . . . . 6 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> 0 <_ ( N ` F ) )
69		ge0nemnf 12004	. . . . . 6 |- ( ( ( N ` F ) e. RR* /\ 0 <_ ( N ` F ) ) -> ( N ` F ) =/= -oo )
70	67, 68, 69	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> ( N ` F ) =/= -oo )
71	67, 70	jca 554	. . . 4 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> ( ( N ` F ) e. RR* /\ ( N ` F ) =/= -oo ) )
72		xrnemnf 11951	. . . 4 |- ( ( ( N ` F ) e. RR* /\ ( N ` F ) =/= -oo ) <-> ( ( N ` F ) e. RR \/ ( N ` F ) = +oo ) )
73	71, 72	sylib 208	. . 3 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> ( ( N ` F ) e. RR \/ ( N ` F ) = +oo ) )
74	73	adantr 481	. 2 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( ( N ` F ) e. RR \/ ( N ` F ) = +oo ) )
75	15, 66, 74	mpjaodan 827	1 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( ( N ` F ) xe ( L ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   RR+crp 11832   xecxmu 11945   Basecbs 15857   0gc0g 16100   GrpHom cghm 17657   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   normOpcnmo 22509   NGHom cnghm 22510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nmo 22512  df-nghm 22513

This theorem is referenced by:  nmoi2  22534  nmoleub2lem  22914