Theorem nmoleub2lem 22914

Description: Lemma for nmoleub2a 22917 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoleub2.n	|- N = ( S normOp T )
nmoleub2.v	|- V = ( Base ` S )
nmoleub2.l	|- L = ( norm ` S )
nmoleub2.m	|- M = ( norm ` T )
nmoleub2.g	|- G = (Scalar ` S )
nmoleub2.w	|- K = ( Base ` G )
nmoleub2.s	|- ( ph -> S e. (NrmMod i^i CMod ) )
nmoleub2.t	|- ( ph -> T e. (NrmMod i^i CMod ) )
nmoleub2.f	|- ( ph -> F e. ( S LMHom T ) )
nmoleub2.a	|- ( ph -> A e. RR* )
nmoleub2.r	|- ( ph -> R e. RR+ )
nmoleub2lem.5	|- ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) -> 0 <_ A )
nmoleub2lem.6	|- ( ( ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) /\ A e. RR ) /\ ( y e. V /\ y =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( M ` ( F ` y ) ) <_ ( A x. ( L ` y ) ) )
nmoleub2lem.7	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ps -> ( L ` x ) <_ R ) )

Assertion

Ref	Expression
nmoleub2lem	|- ( ph -> ( ( N ` F ) <_ A <-> A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y   x, L, y   x, N, y   x, M, y   ph, x, y   ps, y   x, S, y   x, V, y   x, R, y   y, T

Allowed substitution hints:   ps( x)   T( x)   G( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem nmoleub2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoleub2lem.7	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ps -> ( L ` x ) <_ R ) )
2	1	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ x e. V ) -> ( ps -> ( L ` x ) <_ R ) )
3		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- (NrmMod i^i CMod ) C_ NrmMod
4		nmoleub2.t	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. (NrmMod i^i CMod ) )
5	3, 4	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. NrmMod )
6		nlmngp 22481	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. NrmMod -> T e. NrmGrp )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T e. NrmGrp )
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> T e. NrmGrp )
9		nmoleub2.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F e. ( S LMHom T ) )
10		nmoleub2.v	. . . . . . . . . . . . 13 |- V = ( Base ` S )
11		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
12	10, 11	lmhmf 19034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> F : V --> ( Base ` T ) )
13	9, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : V --> ( Base ` T ) )
14	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> F : V --> ( Base ` T ) )
15		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> x e. V )
16	14, 15	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( F ` x ) e. ( Base ` T ) )
17		nmoleub2.m	. . . . . . . . . 10 |- M = ( norm ` T )
18	11, 17	nmcl 22420	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. NrmGrp /\ ( F ` x ) e. ( Base ` T ) ) -> ( M ` ( F ` x ) ) e. RR )
19	8, 16, 18	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( M ` ( F ` x ) ) e. RR )
20		nmoleub2.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. RR+ )
21	20	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> R e. RR+ )
22	19, 21	rerpdivcld 11903	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) e. RR )
23	22	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) e. RR* )
24		nmoleub2.s	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. (NrmMod i^i CMod ) )
25	3, 24	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. NrmMod )
26		nlmngp 22481	. . . . . . . . 9 |- ( S e. NrmMod -> S e. NrmGrp )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. NrmGrp )
28		lmghm 19031	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
29	9, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( S GrpHom T ) )
30		nmoleub2.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( S normOp T )
31	30	nmocl 22524	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> ( N ` F ) e. RR* )
32	27, 7, 29, 31	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` F ) e. RR* )
33	32	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( N ` F ) e. RR* )
34		nmoleub2.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR* )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> A e. RR* )
36	21	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> R e. RR )
37		rexmul 12101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) xe R ) = ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) x. R ) )
38	22, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) xe R ) = ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) x. R ) )
39	19	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( M ` ( F ` x ) ) e. CC )
40	36	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> R e. CC )
41	21	rpne0d 11877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> R =/= 0 )
42	39, 40, 41	divcan1d 10802	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) x. R ) = ( M ` ( F ` x ) ) )
43	38, 42	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) xe R ) = ( M ` ( F ` x ) ) )
44	19	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( M ` ( F ` x ) ) e. RR* )
45	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> S e. NrmGrp )
46		nmoleub2.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = ( norm ` S )
47	10, 46	nmcl 22420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. NrmGrp /\ x e. V ) -> ( L ` x ) e. RR )
48	45, 15, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( L ` x ) e. RR )
49	48	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( L ` x ) e. RR* )
50	33, 49	xmulcld 12132	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( ( N ` F ) xe ( L ` x ) ) e. RR* )
51	21	rpxrd 11873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> R e. RR* )
52	33, 51	xmulcld 12132	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( ( N ` F ) xe R ) e. RR* )
53	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
54	30, 10, 46, 17	nmoix 22533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ x e. V ) -> ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( ( N ` F ) xe ( L ` x ) ) )
55	45, 8, 53, 15, 54	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( ( N ` F ) xe ( L ` x ) ) )
56	30	nmoge0 22525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> 0 <_ ( N ` F ) )
57	27, 7, 29, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( N ` F ) )
58	32, 57	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N ` F ) e. RR* /\ 0 <_ ( N ` F ) ) )
59	58	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( ( N ` F ) e. RR* /\ 0 <_ ( N ` F ) ) )
60		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( L ` x ) <_ R )
61		xlemul2a 12119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( L ` x ) e. RR* /\ R e. RR* /\ ( ( N ` F ) e. RR* /\ 0 <_ ( N ` F ) ) ) /\ ( L ` x ) <_ R ) -> ( ( N ` F ) xe ( L ` x ) ) <_ ( ( N ` F ) xe R ) )
62	49, 51, 59, 60, 61	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( ( N ` F ) xe ( L ` x ) ) <_ ( ( N ` F ) xe R ) )
63	44, 50, 52, 55, 62	xrletrd 11993	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( ( N ` F ) xe R ) )
64	43, 63	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) xe R ) <_ ( ( N ` F ) xe R ) )
65		xlemul1 12120	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) e. RR* /\ ( N ` F ) e. RR* /\ R e. RR+ ) -> ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ ( N ` F ) <-> ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) xe R ) <_ ( ( N ` F ) xe R ) ) )
66	23, 33, 21, 65	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ ( N ` F ) <-> ( ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) xe R ) <_ ( ( N ` F ) xe R ) ) )
67	64, 66	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ ( N ` F ) )
68		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( N ` F ) <_ A )
69	23, 33, 35, 67, 68	xrletrd 11993	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ ( x e. V /\ ( L ` x ) <_ R ) ) -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A )
70	69	expr 643	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ x e. V ) -> ( ( L ` x ) <_ R -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) )
71	2, 70	syld 47	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) /\ x e. V ) -> ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) )
72	71	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( ph /\ ( N ` F ) <_ A ) -> A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) )
73		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
74	27	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) /\ A e. RR ) -> S e. NrmGrp )
75	7	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) /\ A e. RR ) -> T e. NrmGrp )
76	29	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) /\ A e. RR ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
77		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
78		nmoleub2lem.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) -> 0 <_ A )
79	78	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) /\ A e. RR ) -> 0 <_ A )
80		nmoleub2lem.6	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) /\ A e. RR ) /\ ( y e. V /\ y =/= ( 0g ` S ) ) ) -> ( M ` ( F ` y ) ) <_ ( A x. ( L ` y ) ) )
81	30, 10, 46, 17, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 80	nmolb2d 22522	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) /\ A e. RR ) -> ( N ` F ) <_ A )
82	32	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) /\ A = +oo ) -> ( N ` F ) e. RR* )
83		pnfge 11964	. . . . 5 |- ( ( N ` F ) e. RR* -> ( N ` F ) <_ +oo )
84	82, 83	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) /\ A = +oo ) -> ( N ` F ) <_ +oo )
85		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) /\ A = +oo ) -> A = +oo )
86	84, 85	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) /\ A = +oo ) -> ( N ` F ) <_ A )
87	34	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) -> A e. RR* )
88		ge0nemnf 12004	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A =/= -oo )
89	87, 78, 88	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) -> A =/= -oo )
90	87, 89	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) -> ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) )
91		xrnemnf 11951	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) <-> ( A e. RR \/ A = +oo ) )
92	90, 91	sylib 208	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) -> ( A e. RR \/ A = +oo ) )
93	81, 86, 92	mpjaodan 827	. 2 |- ( ( ph /\ A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) -> ( N ` F ) <_ A )
94	72, 93	impbida 877	1 |- ( ph -> ( ( N ` F ) <_ A <-> A. x e. V ( ps -> ( ( M ` ( F ` x ) ) / R ) <_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   i^i cin 3573   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   / cdiv 10684   RR+crp 11832   xecxmu 11945   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   0gc0g 16100   GrpHom cghm 17657   LMHom clmhm 19019   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  NrmModcnlm 22385   normOpcnmo 22509  CModcclm 22862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-lmhm 19022  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-nmo 22512  df-nghm 22513

This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  22916  nmoleub3  22919