Theorem nmoi 22532

Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	|- N = ( S normOp T )
nmoi.2	|- V = ( Base ` S )
nmoi.3	|- L = ( norm ` S )
nmoi.4	|- M = ( norm ` T )

Assertion

Ref	Expression
nmoi	|- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( ( N ` F ) x. ( L ` X ) ) )

Proof of Theorem nmoi

Dummy variables r x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . 4 |- ( X = ( 0g ` S ) -> ( F ` X ) = ( F ` ( 0g ` S ) ) )
2	1	fveq2d 6195	. . 3 |- ( X = ( 0g ` S ) -> ( M ` ( F ` X ) ) = ( M ` ( F ` ( 0g ` S ) ) ) )
3		fveq2 6191	. . . 4 |- ( X = ( 0g ` S ) -> ( L ` X ) = ( L ` ( 0g ` S ) ) )
4	3	oveq2d 6666	. . 3 |- ( X = ( 0g ` S ) -> ( ( N ` F ) x. ( L ` X ) ) = ( ( N ` F ) x. ( L ` ( 0g ` S ) ) ) )
5	2, 4	breq12d 4666	. 2 |- ( X = ( 0g ` S ) -> ( ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( ( N ` F ) x. ( L ` X ) ) <-> ( M ` ( F ` ( 0g ` S ) ) ) <_ ( ( N ` F ) x. ( L ` ( 0g ` S ) ) ) ) )
6		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
7	6	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( M ` ( F ` x ) ) = ( M ` ( F ` X ) ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( L ` x ) = ( L ` X ) )
9	8	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( r x. ( L ` x ) ) = ( r x. ( L ` X ) ) )
10	7, 9	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( r x. ( L ` x ) ) <-> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( r x. ( L ` X ) ) ) )
11	10	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( X e. V -> ( A. x e. V ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( r x. ( L ` x ) ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( r x. ( L ` X ) ) ) )
12	11	ad3antlr 767	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) /\ r e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( A. x e. V ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( r x. ( L ` x ) ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( r x. ( L ` X ) ) ) )
13		nmofval.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N = ( S normOp T )
14	13	isnghm 22527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( S NGHom T ) <-> ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp ) /\ ( F e. ( S GrpHom T ) /\ ( N ` F ) e. RR ) ) )
15	14	simplbi 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp ) )
17	16	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> T e. NrmGrp )
18	14	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( S NGHom T ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) /\ ( N ` F ) e. RR ) )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( F e. ( S GrpHom T ) /\ ( N ` F ) e. RR ) )
20	19	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
21		nmoi.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- V = ( Base ` S )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
23	21, 22	ghmf 17664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> F : V --> ( Base ` T ) )
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> F : V --> ( Base ` T ) )
25		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : V --> ( Base ` T ) /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. ( Base ` T ) )
26	24, 25	sylancom 701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( F ` X ) e. ( Base ` T ) )
27		nmoi.4	. . . . . . . . . . 11 |- M = ( norm ` T )
28	22, 27	nmcl 22420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. NrmGrp /\ ( F ` X ) e. ( Base ` T ) ) -> ( M ` ( F ` X ) ) e. RR )
29	17, 26, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` X ) ) e. RR )
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( M ` ( F ` X ) ) e. RR )
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) /\ r e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( M ` ( F ` X ) ) e. RR )
32		elrege0 12278	. . . . . . . . 9 |- ( r e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( r e. RR /\ 0 <_ r ) )
33	32	simplbi 476	. . . . . . . 8 |- ( r e. ( 0 [,) +oo ) -> r e. RR )
34	33	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) /\ r e. ( 0 [,) +oo ) ) -> r e. RR )
35	16	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> S e. NrmGrp )
36		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> X e. V )
37	35, 36	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( S e. NrmGrp /\ X e. V ) )
38		nmoi.3	. . . . . . . . . . . 12 |- L = ( norm ` S )
39		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
40	21, 38, 39	nmrpcl 22424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. NrmGrp /\ X e. V /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( L ` X ) e. RR+ )
41	40	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( L ` X ) e. RR+ )
42	37, 41	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( L ` X ) e. RR+ )
43	42	rpregt0d 11878	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( ( L ` X ) e. RR /\ 0 < ( L ` X ) ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) /\ r e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( L ` X ) e. RR /\ 0 < ( L ` X ) ) )
45		ledivmul2 10902	. . . . . . 7 |- ( ( ( M ` ( F ` X ) ) e. RR /\ r e. RR /\ ( ( L ` X ) e. RR /\ 0 < ( L ` X ) ) ) -> ( ( ( M ` ( F ` X ) ) / ( L ` X ) ) <_ r <-> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( r x. ( L ` X ) ) ) )
46	31, 34, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) /\ r e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( ( M ` ( F ` X ) ) / ( L ` X ) ) <_ r <-> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( r x. ( L ` X ) ) ) )
47	12, 46	sylibrd 249	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) /\ r e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( A. x e. V ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( r x. ( L ` x ) ) -> ( ( M ` ( F ` X ) ) / ( L ` X ) ) <_ r ) )
48	47	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> A. r e. ( 0 [,) +oo ) ( A. x e. V ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( r x. ( L ` x ) ) -> ( ( M ` ( F ` X ) ) / ( L ` X ) ) <_ r ) )
49	35	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> S e. NrmGrp )
50	17	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> T e. NrmGrp )
51	20	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
52	30, 42	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( ( M ` ( F ` X ) ) / ( L ` X ) ) e. RR )
53	52	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( ( M ` ( F ` X ) ) / ( L ` X ) ) e. RR* )
54	13, 21, 38, 27	nmogelb 22520	. . . . 5 |- ( ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) /\ ( ( M ` ( F ` X ) ) / ( L ` X ) ) e. RR* ) -> ( ( ( M ` ( F ` X ) ) / ( L ` X ) ) <_ ( N ` F ) <-> A. r e. ( 0 [,) +oo ) ( A. x e. V ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( r x. ( L ` x ) ) -> ( ( M ` ( F ` X ) ) / ( L ` X ) ) <_ r ) ) )
55	49, 50, 51, 53, 54	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( ( ( M ` ( F ` X ) ) / ( L ` X ) ) <_ ( N ` F ) <-> A. r e. ( 0 [,) +oo ) ( A. x e. V ( M ` ( F ` x ) ) <_ ( r x. ( L ` x ) ) -> ( ( M ` ( F ` X ) ) / ( L ` X ) ) <_ r ) ) )
56	48, 55	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( ( M ` ( F ` X ) ) / ( L ` X ) ) <_ ( N ` F ) )
57	19	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( N ` F ) e. RR )
58	57	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( N ` F ) e. RR )
59	30, 58, 42	ledivmul2d 11926	. . 3 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( ( ( M ` ( F ` X ) ) / ( L ` X ) ) <_ ( N ` F ) <-> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( ( N ` F ) x. ( L ` X ) ) ) )
60	56, 59	mpbid 222	. 2 |- ( ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) /\ X =/= ( 0g ` S ) ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( ( N ` F ) x. ( L ` X ) ) )
61		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
62	39, 61	ghmid 17666	. . . . . 6 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
63	20, 62	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` ( 0g ` S ) ) ) = ( M ` ( 0g ` T ) ) )
65	27, 61	nm0 22433	. . . . 5 |- ( T e. NrmGrp -> ( M ` ( 0g ` T ) ) = 0 )
66	17, 65	syl 17	. . . 4 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( 0g ` T ) ) = 0 )
67	64, 66	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` ( 0g ` S ) ) ) = 0 )
68	38, 39	nm0 22433	. . . . . 6 |- ( S e. NrmGrp -> ( L ` ( 0g ` S ) ) = 0 )
69	35, 68	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( L ` ( 0g ` S ) ) = 0 )
70		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
71	69, 70	syl6eqel 2709	. . . 4 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( L ` ( 0g ` S ) ) e. RR )
72	13	nmoge0 22525	. . . . 5 |- ( ( S e. NrmGrp /\ T e. NrmGrp /\ F e. ( S GrpHom T ) ) -> 0 <_ ( N ` F ) )
73	35, 17, 20, 72	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> 0 <_ ( N ` F ) )
74		0le0 11110	. . . . 5 |- 0 <_ 0
75	74, 69	syl5breqr 4691	. . . 4 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> 0 <_ ( L ` ( 0g ` S ) ) )
76	57, 71, 73, 75	mulge0d 10604	. . 3 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> 0 <_ ( ( N ` F ) x. ( L ` ( 0g ` S ) ) ) )
77	67, 76	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` ( 0g ` S ) ) ) <_ ( ( N ` F ) x. ( L ` ( 0g ` S ) ) ) )
78	5, 60, 77	pm2.61ne 2879	1 |- ( ( F e. ( S NGHom T ) /\ X e. V ) -> ( M ` ( F ` X ) ) <_ ( ( N ` F ) x. ( L ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   RR+crp 11832   [,)cico 12177   Basecbs 15857   0gc0g 16100   GrpHom cghm 17657   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   normOpcnmo 22509   NGHom cnghm 22510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nmo 22512  df-nghm 22513

This theorem is referenced by:  nmoix  22533  nmoeq0  22540  nmoco  22541  nmotri  22543  nmoid  22546  nmods  22548