Theorem nmophmi 28890

Description: The norm of the scalar product of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nmophm.1	|- T e. BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmophmi	|- ( A e. CC -> ( normop ` ( A .op T ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) )

Proof of Theorem nmophmi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmophm.1	. . . . . . . . . . 11 |- T e. BndLinOp
2		bdopf 28721	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. BndLinOp -> T : ~H --> ~H )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- T : ~H --> ~H
4		homval 28600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ T : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( A .op T ) ` x ) = ( A .h ( T ` x ) ) )
5	3, 4	mp3an2 1412	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ x e. ~H ) -> ( ( A .op T ) ` x ) = ( A .h ( T ` x ) ) )
6	5	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( A .op T ) ` x ) ) = ( normh ` ( A .h ( T ` x ) ) ) )
7	3	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~H -> ( T ` x ) e. ~H )
8		norm-iii 27997	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( T ` x ) e. ~H ) -> ( normh ` ( A .h ( T ` x ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
9	7, 8	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( A .h ( T ` x ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
10	6, 9	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( A .op T ) ` x ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
11	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( A .op T ) ` x ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) )
12		normcl 27982	. . . . . . . . 9 |- ( ( T ` x ) e. ~H -> ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR )
13	7, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~H -> ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR )
14	13	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR )
15		abscl 14018	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
16		absge0 14027	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
17	15, 16	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
18	17	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
19		nmoplb 28766	. . . . . . . . 9 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( normop ` T ) )
20	3, 19	mp3an1 1411	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( normop ` T ) )
21	20	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( normop ` T ) )
22		nmopre 28729	. . . . . . . . 9 |- ( T e. BndLinOp -> ( normop ` T ) e. RR )
23	1, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( normop ` T ) e. RR
24		lemul2a 10878	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR /\ ( normop ` T ) e. RR /\ ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) ) /\ ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( normop ` T ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) )
25	23, 24	mp3anl2 1419	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR /\ ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) ) /\ ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( normop ` T ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) )
26	14, 18, 21, 25	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) )
27	11, 26	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( A .op T ) ` x ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) )
28	27	ex 450	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. ~H ) -> ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( A .op T ) ` x ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) ) )
29	28	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( A e. CC -> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( A .op T ) ` x ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) ) )
30		homulcl 28618	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ T : ~H --> ~H ) -> ( A .op T ) : ~H --> ~H )
31	3, 30	mpan2 707	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A .op T ) : ~H --> ~H )
32		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ ( normop ` T ) e. RR ) -> ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) e. RR )
33	15, 23, 32	sylancl 694	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) e. RR )
34	33	rexrd 10089	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) e. RR* )
35		nmopub 28767	. . . 4 |- ( ( ( A .op T ) : ~H --> ~H /\ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) e. RR* ) -> ( ( normop ` ( A .op T ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( A .op T ) ` x ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) ) ) )
36	31, 34, 35	syl2anc 693	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( normop ` ( A .op T ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( A .op T ) ` x ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) ) ) )
37	29, 36	mpbird 247	. 2 |- ( A e. CC -> ( normop ` ( A .op T ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( A = 0 -> ( abs ` A ) = ( abs ` 0 ) )
39		abs0 14025	. . . . . . . 8 |- ( abs ` 0 ) = 0
40	38, 39	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( A = 0 -> ( abs ` A ) = 0 )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( A = 0 -> ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) = ( 0 x. ( normop ` T ) ) )
42	23	recni 10052	. . . . . . 7 |- ( normop ` T ) e. CC
43	42	mul02i 10225	. . . . . 6 |- ( 0 x. ( normop ` T ) ) = 0
44	41, 43	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( A = 0 -> ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) = 0 )
45	44	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A = 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) = 0 )
46		nmopge0 28770	. . . . . 6 |- ( ( A .op T ) : ~H --> ~H -> 0 <_ ( normop ` ( A .op T ) ) )
47	31, 46	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( normop ` ( A .op T ) ) )
48	47	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A = 0 ) -> 0 <_ ( normop ` ( A .op T ) ) )
49	45, 48	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A = 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) <_ ( normop ` ( A .op T ) ) )
50		nmoplb 28766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A .op T ) : ~H --> ~H /\ x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( A .op T ) ` x ) ) <_ ( normop ` ( A .op T ) ) )
51	31, 50	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ x e. ~H /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( A .op T ) ` x ) ) <_ ( normop ` ( A .op T ) ) )
52	51	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( A .op T ) ` x ) ) <_ ( normop ` ( A .op T ) ) )
53	11, 52	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) <_ ( normop ` ( A .op T ) ) )
54	53	adantllr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) <_ ( normop ` ( A .op T ) ) )
55	13	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR )
56		nmopxr 28725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A .op T ) : ~H --> ~H -> ( normop ` ( A .op T ) ) e. RR* )
57	31, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( normop ` ( A .op T ) ) e. RR* )
58		nmopgtmnf 28727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A .op T ) : ~H --> ~H -> -oo < ( normop ` ( A .op T ) ) )
59	31, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> -oo < ( normop ` ( A .op T ) ) )
60		xrre 12000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( normop ` ( A .op T ) ) e. RR* /\ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) e. RR ) /\ ( -oo < ( normop ` ( A .op T ) ) /\ ( normop ` ( A .op T ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) ) ) -> ( normop ` ( A .op T ) ) e. RR )
61	57, 33, 59, 37, 60	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( normop ` ( A .op T ) ) e. RR )
62	61	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ x e. ~H ) -> ( normop ` ( A .op T ) ) e. RR )
63	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ x e. ~H ) -> ( abs ` A ) e. RR )
64		absgt0 14064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( A =/= 0 <-> 0 < ( abs ` A ) ) )
65	64	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> 0 < ( abs ` A ) )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ x e. ~H ) -> 0 < ( abs ` A ) )
67		lemuldiv2 10904	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR /\ ( normop ` ( A .op T ) ) e. RR /\ ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 < ( abs ` A ) ) ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) <_ ( normop ` ( A .op T ) ) <-> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) ) )
68	55, 62, 63, 66, 67	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) <_ ( normop ` ( A .op T ) ) <-> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( normh ` ( T ` x ) ) ) <_ ( normop ` ( A .op T ) ) <-> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) ) )
70	54, 69	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) )
71	70	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ x e. ~H ) -> ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) ) )
72	71	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) ) )
73	61	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( normop ` ( A .op T ) ) e. RR )
74	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
75		abs00 14029	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) = 0 <-> A = 0 ) )
76	75	necon3bid 2838	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) =/= 0 <-> A =/= 0 ) )
77	76	biimpar 502	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) =/= 0 )
78	73, 74, 77	redivcld 10853	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) e. RR )
79	78	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) e. RR* )
80		nmopub 28767	. . . . . 6 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) e. RR* ) -> ( ( normop ` T ) <_ ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) ) ) )
81	3, 79, 80	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( ( normop ` T ) <_ ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) ) ) )
82	72, 81	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( normop ` T ) <_ ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) )
83	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( normop ` T ) e. RR )
84		lemuldiv2 10904	. . . . 5 |- ( ( ( normop ` T ) e. RR /\ ( normop ` ( A .op T ) ) e. RR /\ ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 < ( abs ` A ) ) ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) <_ ( normop ` ( A .op T ) ) <-> ( normop ` T ) <_ ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) ) )
85	83, 73, 74, 65, 84	syl112anc 1330	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) <_ ( normop ` ( A .op T ) ) <-> ( normop ` T ) <_ ( ( normop ` ( A .op T ) ) / ( abs ` A ) ) ) )
86	82, 85	mpbird 247	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) <_ ( normop ` ( A .op T ) ) )
87	49, 86	pm2.61dane 2881	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) <_ ( normop ` ( A .op T ) ) )
88	61, 33	letri3d 10179	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( normop ` ( A .op T ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) <-> ( ( normop ` ( A .op T ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) /\ ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) <_ ( normop ` ( A .op T ) ) ) ) )
89	37, 87, 88	mpbir2and 957	1 |- ( A e. CC -> ( normop ` ( A .op T ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( normop ` T ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   abscabs 13974   ~Hchil 27776   .h csm 27778   normhcno 27780   .op chot 27796   normopcnop 27802   BndLinOpcbo 27805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-homul 28590  df-nmop 28698  df-lnop 28700  df-bdop 28701

This theorem is referenced by:  bdophmi  28891