Theorem odmulg 17973

Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odmulgid.1	|- X = ( Base ` G )
odmulgid.2	|- O = ( od ` G )
odmulgid.3	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
odmulg	|- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) -> ( O ` A ) = ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) )

Proof of Theorem odmulg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odmulgid.1	. . . . . . . . 9 |- X = ( Base ` G )
2		odmulgid.3	. . . . . . . . 9 |- .x. = (.g ` G )
3	1, 2	mulgcl 17559	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ A e. X ) -> ( N .x. A ) e. X )
4	3	3com23 1271	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) -> ( N .x. A ) e. X )
5		odmulgid.2	. . . . . . . 8 |- O = ( od ` G )
6	1, 5	odcl 17955	. . . . . . 7 |- ( ( N .x. A ) e. X -> ( O ` ( N .x. A ) ) e. NN0 )
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) -> ( O ` ( N .x. A ) ) e. NN0 )
8	7	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) -> ( O ` ( N .x. A ) ) e. CC )
9	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 0 ) -> ( O ` ( N .x. A ) ) e. CC )
10	9	mul02d 10234	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 0 ) -> ( 0 x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) = 0 )
11		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 0 ) -> ( N gcd ( O ` A ) ) = 0 )
12	11	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 0 ) -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) = ( 0 x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) )
13		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
14	1, 5	odcl 17955	. . . . . . 7 |- ( A e. X -> ( O ` A ) e. NN0 )
15	14	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) -> ( O ` A ) e. NN0 )
16	15	nn0zd 11480	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) -> ( O ` A ) e. ZZ )
17		gcdeq0 15238	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ ( O ` A ) e. ZZ ) -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) = 0 <-> ( N = 0 /\ ( O ` A ) = 0 ) ) )
18	13, 16, 17	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) = 0 <-> ( N = 0 /\ ( O ` A ) = 0 ) ) )
19	18	simplbda 654	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 0 ) -> ( O ` A ) = 0 )
20	10, 12, 19	3eqtr4rd 2667	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) = 0 ) -> ( O ` A ) = ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) )
21		simpll3 1102	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) /\ x e. NN0 ) -> N e. ZZ )
22	16	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( O ` A ) e. ZZ )
23		gcddvds 15225	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ ( O ` A ) e. ZZ ) -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) || N /\ ( N gcd ( O ` A ) ) || ( O ` A ) ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) || N /\ ( N gcd ( O ` A ) ) || ( O ` A ) ) )
25	24	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( N gcd ( O ` A ) ) || ( O ` A ) )
26	13, 16	gcdcld 15230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) -> ( N gcd ( O ` A ) ) e. NN0 )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) -> ( N gcd ( O ` A ) ) e. NN0 )
28	27	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) -> ( N gcd ( O ` A ) ) e. ZZ )
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( N gcd ( O ` A ) ) e. ZZ )
30		nn0z 11400	. . . . . . . 8 |- ( x e. NN0 -> x e. ZZ )
31	30	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) /\ x e. NN0 ) -> x e. ZZ )
32		dvdstr 15018	. . . . . . 7 |- ( ( ( N gcd ( O ` A ) ) e. ZZ /\ ( O ` A ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( N gcd ( O ` A ) ) || ( O ` A ) /\ ( O ` A ) || x ) -> ( N gcd ( O ` A ) ) || x ) )
33	29, 22, 31, 32	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( ( N gcd ( O ` A ) ) || ( O ` A ) /\ ( O ` A ) || x ) -> ( N gcd ( O ` A ) ) || x ) )
34	25, 33	mpand 711	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( O ` A ) || x -> ( N gcd ( O ` A ) ) || x ) )
35	7	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) -> ( O ` ( N .x. A ) ) e. ZZ )
36	35	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( O ` ( N .x. A ) ) e. ZZ )
37		muldvds1 15006	. . . . . 6 |- ( ( ( N gcd ( O ` A ) ) e. ZZ /\ ( O ` ( N .x. A ) ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || x -> ( N gcd ( O ` A ) ) || x ) )
38	29, 36, 31, 37	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || x -> ( N gcd ( O ` A ) ) || x ) )
39		dvdszrcl 14988	. . . . . . . . 9 |- ( ( N gcd ( O ` A ) ) || x -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) )
40		divides 14985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N gcd ( O ` A ) ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) || x <-> E. y e. ZZ ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) = x ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N gcd ( O ` A ) ) || x -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) || x <-> E. y e. ZZ ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) = x ) )
42	41	ibi 256	. . . . . . 7 |- ( ( N gcd ( O ` A ) ) || x -> E. y e. ZZ ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) = x )
43	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) ) -> ( O ` ( N .x. A ) ) e. ZZ )
44		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
45	28	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) ) -> ( N gcd ( O ` A ) ) e. ZZ )
46		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) ) -> ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 )
47		dvdscmulr 15010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( O ` ( N .x. A ) ) e. ZZ /\ y e. ZZ /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) e. ZZ /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. y ) <-> ( O ` ( N .x. A ) ) || y ) )
48	43, 44, 45, 46, 47	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. y ) <-> ( O ` ( N .x. A ) ) || y ) )
49	1, 5, 2	odmulgid 17971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ y e. ZZ ) -> ( ( O ` ( N .x. A ) ) || y <-> ( O ` A ) || ( y x. N ) ) )
50	49	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( N .x. A ) ) || y <-> ( O ` A ) || ( y x. N ) ) )
51		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
52		dvdsmulgcd 15274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( O ` A ) || ( y x. N ) <-> ( O ` A ) || ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) ) )
53	44, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( O ` A ) || ( y x. N ) <-> ( O ` A ) || ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) ) )
54	48, 50, 53	3bitrrd 295	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( O ` A ) || ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. y ) ) )
55	45	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) ) -> ( N gcd ( O ` A ) ) e. CC )
56	44	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) ) -> y e. CC )
57	55, 56	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. y ) = ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) )
58	57	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. y ) <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) ) )
59	54, 58	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( O ` A ) || ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) ) )
60	59	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) /\ y e. ZZ ) -> ( ( O ` A ) || ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) ) )
61		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) = x -> ( ( O ` A ) || ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) <-> ( O ` A ) || x ) )
62		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) = x -> ( ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || x ) )
63	61, 62	bibi12d 335	. . . . . . . . 9 |- ( ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) = x -> ( ( ( O ` A ) || ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) ) <-> ( ( O ` A ) || x <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || x ) ) )
64	60, 63	syl5ibcom 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) /\ y e. ZZ ) -> ( ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) = x -> ( ( O ` A ) || x <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || x ) ) )
65	64	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) -> ( E. y e. ZZ ( y x. ( N gcd ( O ` A ) ) ) = x -> ( ( O ` A ) || x <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || x ) ) )
66	42, 65	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) || x -> ( ( O ` A ) || x <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || x ) ) )
67	66	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) || x -> ( ( O ` A ) || x <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || x ) ) )
68	34, 38, 67	pm5.21ndd 369	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( O ` A ) || x <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || x ) )
69	68	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) -> A. x e. NN0 ( ( O ` A ) || x <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || x ) )
70	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) -> ( O ` A ) e. NN0 )
71	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) -> ( O ` ( N .x. A ) ) e. NN0 )
72	27, 71	nn0mulcld 11356	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) -> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) e. NN0 )
73		dvdsext 15043	. . . 4 |- ( ( ( O ` A ) e. NN0 /\ ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) e. NN0 ) -> ( ( O ` A ) = ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) <-> A. x e. NN0 ( ( O ` A ) || x <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || x ) ) )
74	70, 72, 73	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) -> ( ( O ` A ) = ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) <-> A. x e. NN0 ( ( O ` A ) || x <-> ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) || x ) ) )
75	69, 74	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) /\ ( N gcd ( O ` A ) ) =/= 0 ) -> ( O ` A ) = ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) )
76	20, 75	pm2.61dane 2881	1 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ N e. ZZ ) -> ( O ` A ) = ( ( N gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( N .x. A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   x. cmul 9941   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Basecbs 15857   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540   odcod 17944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-od 17948

This theorem is referenced by:  odmulgeq  17974  odinv  17978  gexexlem  18255