Theorem odinv 17978

Description: The order of the inverse of a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odinv.1	|- O = ( od ` G )
odinv.2	|- I = ( invg ` G )
odinv.3	|- X = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
odinv	|- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( O ` ( I ` A ) ) = ( O ` A ) )

Proof of Theorem odinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 11413	. . 3 |- -u 1 e. ZZ
2		odinv.3	. . . 4 |- X = ( Base ` G )
3		odinv.1	. . . 4 |- O = ( od ` G )
4		eqid 2622	. . . 4 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
5	2, 3, 4	odmulg 17973	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( O ` A ) = ( ( -u 1 gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( -u 1 (.g ` G ) A ) ) ) )
6	1, 5	mp3an3 1413	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( O ` A ) = ( ( -u 1 gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( -u 1 (.g ` G ) A ) ) ) )
7	2, 3	odcl 17955	. . . . . . 7 |- ( A e. X -> ( O ` A ) e. NN0 )
8	7	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( O ` A ) e. NN0 )
9	8	nn0zd 11480	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( O ` A ) e. ZZ )
10		gcdcom 15235	. . . . 5 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ ( O ` A ) e. ZZ ) -> ( -u 1 gcd ( O ` A ) ) = ( ( O ` A ) gcd -u 1 ) )
11	1, 9, 10	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( -u 1 gcd ( O ` A ) ) = ( ( O ` A ) gcd -u 1 ) )
12		1z 11407	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
13		gcdneg 15243	. . . . 5 |- ( ( ( O ` A ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( O ` A ) gcd -u 1 ) = ( ( O ` A ) gcd 1 ) )
14	9, 12, 13	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( O ` A ) gcd -u 1 ) = ( ( O ` A ) gcd 1 ) )
15		gcd1 15249	. . . . 5 |- ( ( O ` A ) e. ZZ -> ( ( O ` A ) gcd 1 ) = 1 )
16	9, 15	syl 17	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( O ` A ) gcd 1 ) = 1 )
17	11, 14, 16	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( -u 1 gcd ( O ` A ) ) = 1 )
18		odinv.2	. . . . 5 |- I = ( invg ` G )
19	2, 4, 18	mulgm1 17562	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( -u 1 (.g ` G ) A ) = ( I ` A ) )
20	19	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( O ` ( -u 1 (.g ` G ) A ) ) = ( O ` ( I ` A ) ) )
21	17, 20	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( -u 1 gcd ( O ` A ) ) x. ( O ` ( -u 1 (.g ` G ) A ) ) ) = ( 1 x. ( O ` ( I ` A ) ) ) )
22	2, 18	grpinvcl 17467	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( I ` A ) e. X )
23	2, 3	odcl 17955	. . . . 5 |- ( ( I ` A ) e. X -> ( O ` ( I ` A ) ) e. NN0 )
24	22, 23	syl 17	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( O ` ( I ` A ) ) e. NN0 )
25	24	nn0cnd 11353	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( O ` ( I ` A ) ) e. CC )
26	25	mulid2d 10058	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( 1 x. ( O ` ( I ` A ) ) ) = ( O ` ( I ` A ) ) )
27	6, 21, 26	3eqtrrd 2661	1 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( O ` ( I ` A ) ) = ( O ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   x. cmul 9941   -ucneg 10267   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   gcd cgcd 15216   Basecbs 15857   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  ._gcmg 17540   odcod 17944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-od 17948

This theorem is referenced by:  torsubg  18257  oddvdssubg  18258