Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell14qrgt0 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem pell14qrgt0 37423
Description: A positive Pell solution is a positive number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrgt0 |- ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. (Pell14QR ` D ) ) -> 0 < A )
Proof of Theorem pell14qrgt0
Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell14qr 37413 . . 3 |- ( D e. ( NN \ ◻NN ) -> ( A e. (Pell14QR ` D ) <-> ( A e. RR /\ E. a e. NN0 E. b e. ZZ ( A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) ) )
2 0cnd 10033 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 e. CC )
3 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( D e. ( NN \ ◻NN ) -> D e. NN )
43ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> D e. NN )
54nnred 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> D e. RR )
64nnnn0d 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> D e. NN0 )
76nn0ge0d 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 <_ D )
85, 7resqrtcld 14156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( sqr ` D ) e. RR )
9 zre 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b e. ZZ -> b e. RR )
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) -> b e. RR )
1110ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> b e. RR )
128, 11remulcld 10070 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( sqr ` D ) x. b ) e. RR )
1312recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( sqr ` D ) x. b ) e. CC )
142, 13abssubd 14192 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( abs ` ( 0 - ( ( sqr ` D ) x. b ) ) ) = ( abs ` ( ( ( sqr ` D ) x. b ) - 0 ) ) )
1513subid1d 10381 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( ( sqr ` D ) x. b ) - 0 ) = ( ( sqr ` D ) x. b ) )
1615fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( abs ` ( ( ( sqr ` D ) x. b ) - 0 ) ) = ( abs ` ( ( sqr ` D ) x. b ) ) )
1714, 16eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( abs ` ( 0 - ( ( sqr ` D ) x. b ) ) ) = ( abs ` ( ( sqr ` D ) x. b ) ) )
18 absresq 14042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( sqr ` D ) x. b ) e. RR -> ( ( abs ` ( ( sqr ` D ) x. b ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` D ) x. b ) ^ 2 ) )
1912, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( abs ` ( ( sqr ` D ) x. b ) ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` D ) x. b ) ^ 2 ) )
205recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> D e. CC )
2120sqrtcld 14176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( sqr ` D ) e. CC )
2210recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) -> b e. CC )
2322ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> b e. CC )
2421, 23sqmuld 13020 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( ( sqr ` D ) x. b ) ^ 2 ) = ( ( ( sqr ` D ) ^ 2 ) x. ( b ^ 2 ) ) )
2520sqsqrtd 14178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( sqr ` D ) ^ 2 ) = D )
2625oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( ( sqr ` D ) ^ 2 ) x. ( b ^ 2 ) ) = ( D x. ( b ^ 2 ) ) )
2719, 24, 263eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( abs ` ( ( sqr ` D ) x. b ) ) ^ 2 ) = ( D x. ( b ^ 2 ) ) )
28 0lt1 10550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
29 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 )
3028, 29syl5breqr 4691 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 < ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) )
3111resqcld 13035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( b ^ 2 ) e. RR )
325, 31remulcld 10070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( D x. ( b ^ 2 ) ) e. RR )
33 nn0re 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. NN0 -> a e. RR )
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) -> a e. RR )
3534ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> a e. RR )
3635resqcld 13035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( a ^ 2 ) e. RR )
3732, 36posdifd 10614 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( D x. ( b ^ 2 ) ) < ( a ^ 2 ) <-> 0 < ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) ) )
3830, 37mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( D x. ( b ^ 2 ) ) < ( a ^ 2 ) )
3927, 38eqbrtrd 4675 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( abs ` ( ( sqr ` D ) x. b ) ) ^ 2 ) < ( a ^ 2 ) )
4013abscld 14175 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( abs ` ( ( sqr ` D ) x. b ) ) e. RR )
4113absge0d 14183 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( sqr ` D ) x. b ) ) )
42 nn0ge0 11318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. NN0 -> 0 <_ a )
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) -> 0 <_ a )
4443ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 <_ a )
4540, 35, 41, 44lt2sqd 13043 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( abs ` ( ( sqr ` D ) x. b ) ) < a <-> ( ( abs ` ( ( sqr ` D ) x. b ) ) ^ 2 ) < ( a ^ 2 ) ) )
4639, 45mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( abs ` ( ( sqr ` D ) x. b ) ) < a )
4717, 46eqbrtrd 4675 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( abs ` ( 0 - ( ( sqr ` D ) x. b ) ) ) < a )
48 0red 10041 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 e. RR )
4948, 12, 35absdifltd 14172 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( abs ` ( 0 - ( ( sqr ` D ) x. b ) ) ) < a <-> ( ( ( ( sqr ` D ) x. b ) - a ) < 0 /\ 0 < ( ( ( sqr ` D ) x. b ) + a ) ) ) )
5047, 49mpbid 222 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( ( ( ( sqr ` D ) x. b ) - a ) < 0 /\ 0 < ( ( ( sqr ` D ) x. b ) + a ) ) )
5150simprd 479 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 < ( ( ( sqr ` D ) x. b ) + a ) )
52 nn0cn 11302 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. NN0 -> a e. CC )
5352adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) -> a e. CC )
5453ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> a e. CC )
5554, 13addcomd 10238 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) = ( ( ( sqr ` D ) x. b ) + a ) )
5651, 55breqtrrd 4681 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 < ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) )
5756adantrl 752 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) -> 0 < ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) )
58 simprl 794 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) -> A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) )
5957, 58breqtrrd 4681 . . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) /\ ( A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) -> 0 < A )
6059ex 450 . . . . 5 |- ( ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) /\ ( a e. NN0 /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 < A ) )
6160rexlimdvva 3038 . . . 4 |- ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. RR ) -> ( E. a e. NN0 E. b e. ZZ ( A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) -> 0 < A ) )
6261expimpd 629 . . 3 |- ( D e. ( NN \ ◻NN ) -> ( ( A e. RR /\ E. a e. NN0 E. b e. ZZ ( A = ( a + ( ( sqr ` D ) x. b ) ) /\ ( ( a ^ 2 ) - ( D x. ( b ^ 2 ) ) ) = 1 ) ) -> 0 < A ) )
631, 62sylbid 230 . 2 |- ( D e. ( NN \ ◻NN ) -> ( A e. (Pell14QR ` D ) -> 0 < A ) )
6463imp 445 1 |- ( ( D e. ( NN \ ◻NN ) /\ A e. (Pell14QR ` D ) ) -> 0 < A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   \ cdif 3571   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974  ◻NNcsquarenn 37400  Pell14QRcpell14qr 37403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-pell14qr 37407
This theorem is referenced by:  pell14qrrp  37424  elpell14qr2  37426  elpell1qr2  37436  pellfundex  37450
  Copyright terms: Public domain W3C validator