Theorem pm2mpf1 20604

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a 1-1 function mapping polynomial matrices to polynomials over matrices. (Contributed by AV, 14-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpval.p	|- P = (Poly1 ` R )
pm2mpval.c	|- C = ( N Mat P )
pm2mpval.b	|- B = ( Base ` C )
pm2mpval.m	|- .* = ( .s ` Q )
pm2mpval.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
pm2mpval.x	|- X = (var1 ` A )
pm2mpval.a	|- A = ( N Mat R )
pm2mpval.q	|- Q = (Poly1 ` A )
pm2mpval.t	|- T = ( N pMatToMatPoly R )
pm2mpcl.l	|- L = ( Base ` Q )

Assertion

Ref	Expression
pm2mpf1	|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T : B -1-1-> L )

Proof of Theorem pm2mpf1

Dummy variables n k a b i j u w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpval.p	. . 3 |- P = (Poly1 ` R )
2		pm2mpval.c	. . 3 |- C = ( N Mat P )
3		pm2mpval.b	. . 3 |- B = ( Base ` C )
4		pm2mpval.m	. . 3 |- .* = ( .s ` Q )
5		pm2mpval.e	. . 3 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
6		pm2mpval.x	. . 3 |- X = (var1 ` A )
7		pm2mpval.a	. . 3 |- A = ( N Mat R )
8		pm2mpval.q	. . 3 |- Q = (Poly1 ` A )
9		pm2mpval.t	. . 3 |- T = ( N pMatToMatPoly R )
10		pm2mpcl.l	. . 3 |- L = ( Base ` Q )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpf 20603	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T : B --> L )
12	7	matring 20249	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
13	12	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> A e. Ring )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpcl 20602	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ u e. B ) -> ( T ` u ) e. L )
15	14	3expa 1265	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ u e. B ) -> ( T ` u ) e. L )
16	15	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( T ` u ) e. L )
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pm2mpcl 20602	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ w e. B ) -> ( T ` w ) e. L )
18	17	3expia 1267	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( w e. B -> ( T ` w ) e. L ) )
19	18	adantld 483	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( u e. B /\ w e. B ) -> ( T ` w ) e. L ) )
20	19	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( T ` w ) e. L )
21		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (coe1 ` ( T ` u ) ) = (coe1 ` ( T ` u ) )
22		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (coe1 ` ( T ` w ) ) = (coe1 ` ( T ` w ) )
23	8, 10, 21, 22	ply1coe1eq 19668	. . . . . 6 |- ( ( A e. Ring /\ ( T ` u ) e. L /\ ( T ` w ) e. L ) -> ( A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) <-> ( T ` u ) = ( T ` w ) ) )
24	23	bicomd 213	. . . . 5 |- ( ( A e. Ring /\ ( T ` u ) e. L /\ ( T ` w ) e. L ) -> ( ( T ` u ) = ( T ` w ) <-> A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) )
25	13, 16, 20, 24	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( T ` u ) = ( T ` w ) <-> A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) )
26		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> N e. Fin )
27		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> R e. Ring )
28		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> u e. B )
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	pm2mpfval 20601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ u e. B ) -> ( T ` u ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( u decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( T ` u ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( u decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
31	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( T ` u ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( u decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
32	31	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> (coe1 ` ( T ` u ) ) = (coe1 ` ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( u decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ) )
33	32	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( u decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` n ) )
34		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
35	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> u e. B )
36	35	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( u e. B /\ n e. NN0 ) )
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pm2mpf1lem 20599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ n e. NN0 ) ) -> ( (coe1 ` ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( u decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` n ) = ( u decompPMat n ) )
38	34, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( u decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` n ) = ( u decompPMat n ) )
39	33, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( u decompPMat n ) )
40		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> w e. B )
41	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	pm2mpfval 20601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ w e. B ) -> ( T ` w ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( w decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
42	26, 27, 40, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( T ` w ) = ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( w decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) )
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> (coe1 ` ( T ` w ) ) = (coe1 ` ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( w decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ) )
44	43	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( w decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` n ) )
45	44	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( w decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` n ) )
46	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> w e. B )
47	46	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( w e. B /\ n e. NN0 ) )
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	pm2mpf1lem 20599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( w e. B /\ n e. NN0 ) ) -> ( (coe1 ` ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( w decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` n ) = ( w decompPMat n ) )
49	34, 47, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( Q gsumg ( k e. NN0 |-> ( ( w decompPMat k ) .* ( k .^ X ) ) ) ) ) ` n ) = ( w decompPMat n ) )
50	45, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) = ( w decompPMat n ) )
51	39, 50	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) <-> ( u decompPMat n ) = ( w decompPMat n ) ) )
52	2, 3	decpmatval 20570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. B /\ n e. NN0 ) -> ( u decompPMat n ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) )
53	28, 52	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( u decompPMat n ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) )
54	2, 3	decpmatval 20570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. B /\ n e. NN0 ) -> ( w decompPMat n ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) )
55	40, 54	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( w decompPMat n ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) )
56	53, 55	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( u decompPMat n ) = ( w decompPMat n ) <-> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) ) )
57		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
59		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> N e. Fin )
60		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> R e. Ring )
61		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
62		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> i e. N )
63		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> j e. N )
64	3	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u e. B <-> u e. ( Base ` C ) )
65	64	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u e. B -> u e. ( Base ` C ) )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( u e. B /\ w e. B ) -> u e. ( Base ` C ) )
67	66	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> u e. ( Base ` C ) )
68	67	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> u e. ( Base ` C ) )
69	68, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> u e. B )
70	2, 61, 3, 62, 63, 69	matecld 20232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i u j ) e. ( Base ` P ) )
71		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> n e. NN0 )
72		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (coe1 ` ( i u j ) ) = (coe1 ` ( i u j ) )
73	72, 61, 1, 57	coe1fvalcl 19582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( i u j ) e. ( Base ` P ) /\ n e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) e. ( Base ` R ) )
74	70, 71, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) e. ( Base ` R ) )
75	7, 57, 58, 59, 60, 74	matbas2d 20229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) e. ( Base ` A ) )
76	3	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w e. B <-> w e. ( Base ` C ) )
77	76	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. B -> w e. ( Base ` C ) )
78	77	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> w e. ( Base ` C ) )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> w e. ( Base ` C ) )
80	79	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> w e. ( Base ` C ) )
81	80, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> w e. B )
82	2, 61, 3, 62, 63, 81	matecld 20232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i w j ) e. ( Base ` P ) )
83		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (coe1 ` ( i w j ) ) = (coe1 ` ( i w j ) )
84	83, 61, 1, 57	coe1fvalcl 19582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( i w j ) e. ( Base ` P ) /\ n e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) e. ( Base ` R ) )
85	82, 71, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) e. ( Base ` R ) )
86	7, 57, 58, 59, 60, 85	matbas2d 20229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) e. ( Base ` A ) )
87	7, 58	eqmat 20230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) e. ( Base ` A ) /\ ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) e. ( Base ` A ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) <-> A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) ) )
88	75, 86, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) <-> A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) ) )
89	56, 88	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( u decompPMat n ) = ( w decompPMat n ) <-> A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) ) )
90	89	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( u decompPMat n ) = ( w decompPMat n ) <-> A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) ) )
91		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = a -> ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) )
92		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = a -> ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) = ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) )
93	91, 92	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = a -> ( ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) <-> ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) ) )
94		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = b -> ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) b ) )
95		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = b -> ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) = ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) b ) )
96	94, 95	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = b -> ( ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) <-> ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) b ) = ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) b ) ) )
97	93, 96	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. N /\ b e. N ) /\ A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) ) -> ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) b ) = ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) b ) )
98		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( a e. N /\ b e. N ) /\ ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) )
99		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( i = a /\ j = b ) -> ( i u j ) = ( a u b ) )
100	99	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( i = a /\ j = b ) -> (coe1 ` ( i u j ) ) = (coe1 ` ( a u b ) ) )
101	100	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( i = a /\ j = b ) -> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) )
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( a e. N /\ b e. N ) /\ ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( i = a /\ j = b ) ) -> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) )
103		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( a e. N /\ b e. N ) /\ ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> a e. N )
104		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( a e. N /\ b e. N ) /\ ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> b e. N )
105		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( a e. N /\ b e. N ) /\ ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) e. _V )
106	98, 102, 103, 104, 105	ovmpt2d 6788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( a e. N /\ b e. N ) /\ ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) b ) = ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) )
107		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( a e. N /\ b e. N ) /\ ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) )
108		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( i = a /\ j = b ) -> ( i w j ) = ( a w b ) )
109	108	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( i = a /\ j = b ) -> (coe1 ` ( i w j ) ) = (coe1 ` ( a w b ) ) )
110	109	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( i = a /\ j = b ) -> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) )
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( a e. N /\ b e. N ) /\ ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( i = a /\ j = b ) ) -> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) )
112		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( a e. N /\ b e. N ) /\ ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) e. _V )
113	107, 111, 103, 104, 112	ovmpt2d 6788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( a e. N /\ b e. N ) /\ ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) b ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) )
114	106, 113	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( a e. N /\ b e. N ) /\ ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) b ) = ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) b ) <-> ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) )
115	114	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( a e. N /\ b e. N ) /\ ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) b ) = ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) b ) -> ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) )
116	115	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( n e. NN0 -> ( ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) b ) = ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) b ) -> ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) ) ) )
117	116	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) b ) = ( a ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) b ) -> ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( n e. NN0 -> ( ( a e. N /\ b e. N ) -> ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) ) ) )
118	97, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a e. N /\ b e. N ) /\ A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) ) -> ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( n e. NN0 -> ( ( a e. N /\ b e. N ) -> ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) ) ) )
119	118	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> ( A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) -> ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( n e. NN0 -> ( ( a e. N /\ b e. N ) -> ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) ) ) ) )
120	119	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> ( ( a e. N /\ b e. N ) -> ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( n e. NN0 -> ( A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) -> ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) ) ) ) )
121	120	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( n e. NN0 -> ( A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) -> ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) ) ) )
122	121	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( n e. NN0 -> ( A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) -> ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) ) )
123	122	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( A. x e. N A. y e. N ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i u j ) ) ` n ) ) y ) = ( x ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i w j ) ) ` n ) ) y ) -> ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) )
124	90, 123	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( u decompPMat n ) = ( w decompPMat n ) -> ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) )
125	51, 124	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) -> ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) )
126	125	ralimdva 2962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) -> A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) )
127	126	impancom 456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) -> ( ( a e. N /\ b e. N ) -> A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) )
128	127	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) )
129	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> R e. Ring )
130		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> a e. N )
131		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> b e. N )
132	66	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) -> u e. ( Base ` C ) )
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> u e. ( Base ` C ) )
134	133, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> u e. B )
135	2, 61, 3, 130, 131, 134	matecld 20232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a u b ) e. ( Base ` P ) )
136	78	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> w e. ( Base ` C ) )
137	136, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> w e. B )
138	2, 61, 3, 130, 131, 137	matecld 20232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a w b ) e. ( Base ` P ) )
139		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (coe1 ` ( a u b ) ) = (coe1 ` ( a u b ) )
140		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (coe1 ` ( a w b ) ) = (coe1 ` ( a w b ) )
141	1, 61, 139, 140	ply1coe1eq 19668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( a u b ) e. ( Base ` P ) /\ ( a w b ) e. ( Base ` P ) ) -> ( A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) <-> ( a u b ) = ( a w b ) ) )
142	141	bicomd 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( a u b ) e. ( Base ` P ) /\ ( a w b ) e. ( Base ` P ) ) -> ( ( a u b ) = ( a w b ) <-> A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) )
143	129, 135, 138, 142	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( ( a u b ) = ( a w b ) <-> A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( a u b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( a w b ) ) ` n ) ) )
144	128, 143	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a u b ) = ( a w b ) )
145	144	ralrimivva 2971	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) -> A. a e. N A. b e. N ( a u b ) = ( a w b ) )
146	2, 3	eqmat 20230	. . . . . . 7 |- ( ( u e. B /\ w e. B ) -> ( u = w <-> A. a e. N A. b e. N ( a u b ) = ( a w b ) ) )
147	146	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) -> ( u = w <-> A. a e. N A. b e. N ( a u b ) = ( a w b ) ) )
148	145, 147	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) /\ A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) ) -> u = w )
149	148	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( A. n e. NN0 ( (coe1 ` ( T ` u ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( T ` w ) ) ` n ) -> u = w ) )
150	25, 149	sylbid 230	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( u e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( T ` u ) = ( T ` w ) -> u = w ) )
151	150	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A. u e. B A. w e. B ( ( T ` u ) = ( T ` w ) -> u = w ) )
152		dff13 6512	. 2 |- ( T : B -1-1-> L <-> ( T : B --> L /\ A. u e. B A. w e. B ( ( T ` u ) = ( T ` w ) -> u = w ) ) )
153	11, 151, 152	sylanbrc 698	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> T : B -1-1-> L )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .scvsca 15945   gsum_g cgsu 16101  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   Mat cmat 20213   decompPMat cdecpmat 20567   pMatToMatPoly cpm2mp 20597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-decpmat 20568  df-pm2mp 20598

This theorem is referenced by:  pm2mpf1o  20620