Theorem matbas2d 20229

Description: The base set of the matrix ring as a mapping operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas2.a	|- A = ( N Mat R )
matbas2.k	|- K = ( Base ` R )
matbas2i.b	|- B = ( Base ` A )
matbas2d.n	|- ( ph -> N e. Fin )
matbas2d.r	|- ( ph -> R e. V )
matbas2d.c	|- ( ( ph /\ x e. N /\ y e. N ) -> C e. K )

Assertion

Ref	Expression
matbas2d	|- ( ph -> ( x e. N , y e. N |-> C ) e. B )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, N, y   x, K, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y)   R( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem matbas2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matbas2d.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. N /\ y e. N ) -> C e. K )
2	1	3expb 1266	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. N /\ y e. N ) ) -> C e. K )
3	2	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. x e. N A. y e. N C e. K )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. N , y e. N |-> C ) = ( x e. N , y e. N |-> C )
5	4	fmpt2 7237	. . 3 |- ( A. x e. N A. y e. N C e. K <-> ( x e. N , y e. N |-> C ) : ( N X. N ) --> K )
6	3, 5	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( x e. N , y e. N |-> C ) : ( N X. N ) --> K )
7		matbas2d.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. Fin )
8		matbas2d.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. V )
9		matbas2.a	. . . . . . 7 |- A = ( N Mat R )
10		matbas2.k	. . . . . . 7 |- K = ( Base ` R )
11	9, 10	matbas2 20227	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( K ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
12	7, 8, 11	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
13		matbas2i.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
14	12, 13	syl6reqr 2675	. . . 4 |- ( ph -> B = ( K ^m ( N X. N ) ) )
15	14	eleq2d 2687	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. N , y e. N |-> C ) e. B <-> ( x e. N , y e. N |-> C ) e. ( K ^m ( N X. N ) ) ) )
16		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` R ) e. _V
17	10, 16	eqeltri 2697	. . . 4 |- K e. _V
18		xpexg 6960	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( N X. N ) e. _V )
19	7, 7, 18	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( N X. N ) e. _V )
20		elmapg 7870	. . . 4 |- ( ( K e. _V /\ ( N X. N ) e. _V ) -> ( ( x e. N , y e. N |-> C ) e. ( K ^m ( N X. N ) ) <-> ( x e. N , y e. N |-> C ) : ( N X. N ) --> K ) )
21	17, 19, 20	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. N , y e. N |-> C ) e. ( K ^m ( N X. N ) ) <-> ( x e. N , y e. N |-> C ) : ( N X. N ) --> K ) )
22	15, 21	bitrd 268	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. N , y e. N |-> C ) e. B <-> ( x e. N , y e. N |-> C ) : ( N X. N ) --> K ) )
23	6, 22	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( x e. N , y e. N |-> C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  mpt2matmul  20252  dmatmulcl  20306  scmatscmiddistr  20314  marrepcl  20370  marepvcl  20375  submabas  20384  mdetrsca2  20410  mdetr0  20411  mdetrlin2  20413  mdetralt2  20415  mdetero  20416  mdetunilem2  20419  mdetunilem5  20422  mdetunilem6  20423  maduf  20447  madutpos  20448  marep01ma  20466  mat2pmatbas  20531  mat2pmatghm  20535  cpm2mf  20557  m2cpminvid  20558  m2cpminvid2  20560  m2cpmfo  20561  decpmatcl  20572  decpmatmul  20577  pmatcollpw1  20581  pmatcollpw2  20583  monmatcollpw  20584  pmatcollpwlem  20585  pmatcollpw  20586  pmatcollpw3lem  20588  pmatcollpwscmatlem2  20595  pm2mpf1  20604  mply1topmatcl  20610  mp2pm2mplem2  20612  mp2pm2mplem4  20614  pm2mpghm  20621  lmatcl  29882  mdetpmtr1  29889  mdetpmtr2  29890  mdetpmtr12  29891  madjusmdetlem1  29893  madjusmdetlem3  29895