poimirlem11 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem poimirlem11 33420

Description: Lemma for poimir 33442 connecting walks that could yield from a given cube a given face opposite the first vertex of the walk. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
poimir.0
poimirlem22.s	..^
poimirlem22.1
poimirlem12.2
poimirlem11.3
poimirlem11.4
poimirlem11.5
poimirlem11.6

**Assertion**
Ref	Expression
poimirlem11

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

**Proof of Theorem poimirlem11**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3584	. . . . . . 7 $\$ $/\$
2		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . 12
3		poimirlem12.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
5		poimirlem22.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
6	4, 5	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
8		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
10		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
12		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16
13		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14	12, 13	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . . 15
15	11, 14	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14
16		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . 14
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
18		frn 6053	. . . . . . . . . . . . 13
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
20	2, 19	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . 11
21		poimirlem11.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
23	22, 5	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
25		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
27		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
29		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	29, 30	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . 14
32	28, 31	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13
33		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . 13
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
35		foima 6120	. . . . . . . . . . . 12
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11
37	20, 36	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . 10
38	37	ssdifd 3746	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
39		dff1o3 6143	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
40	39	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12
41	32, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11
42		imadif 5973	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
44		difun2 4048	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
45		poimirlem11.6	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		fzsplit 12367	. . . . . . . . . . . . . . 15
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
48		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . 14
49	47, 48	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
50	49	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
51		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . 14
52		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53	45, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
54	53	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55	54	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . 15
56		fzdisj 12368	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
58	51, 57	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13
59		disj3 4021	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
60	58, 59	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 $\$
61	44, 50, 60	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . 11 $\$
62	61	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . 10 $\$
63	43, 62	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 $\$
64	38, 63	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 $\$
65	64	sselda 3603	. . . . . . 7 $/\$ $\$
66	1, 65	sylan2br 493	. . . . . 6 $/\$ $/\$
67		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68	67	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69	68	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
70	69	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72	71	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73	71	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
74	73	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75	74	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76	73	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
77	76	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
78	75, 77	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
79	72, 78	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
80	79	csbeq2dv 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16
81	70, 80	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	81	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . 14
83	82	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13
84	83, 5	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . 12 ..^ $/\$
85	84	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11
86	21, 85	syl 17	. . . . . . . . . 10
87		poimirlem11.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
88		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
89	87, 88	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
90	89	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
91		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
92	53	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16
93		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . . . . 16
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
95	91, 94	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	90, 95	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	53	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98		poimir.0	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
99	98	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
100		elfzm1b 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
101	97, 99, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	45, 101	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
106		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107	53, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108	107	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
109	105, 108	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . 16
110	104, 109	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15
111	110	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . 14
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
113	96, 112	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
114	113	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116	115	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
117	116	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . 16
118		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119	118	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120	119	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
121	120	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . 16
122	117, 121	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
124	123	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
125	45, 124	csbied 3560	. . . . . . . . . . . 12
126	125	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
127	114, 126	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
128		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10
129	86, 127, 102, 128	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9
130	129	fveq1d 6193	. . . . . . . 8
131	130	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
132		imassrn 5477	. . . . . . . . . 10
133		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12
134	32, 133	syl 17	. . . . . . . . . . 11
135		frn 6053	. . . . . . . . . . 11
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . 10
137	132, 136	syl5ss 3614	. . . . . . . . 9
138	137	sselda 3603	. . . . . . . 8 $/\$
139		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
140	26, 139	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ..^
141		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . 11 ..^
142	140, 141	syl 17	. . . . . . . . . 10
143	142	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
144		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . 14
145		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . 14
146	144, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
147		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . 14
148		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . 14
149	147, 148	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
150	146, 149	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
151		imain 5974	. . . . . . . . . . . . . 14
152	41, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
153	57	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14
154		ima0 5481	. . . . . . . . . . . . . 14
155	153, 154	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
156	152, 155	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12
157		fnun 5997	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
158	150, 156, 157	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11
159		imaundi 5545	. . . . . . . . . . . . 13
160	47	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14
161	160, 36	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13
162	159, 161	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . 12
163	162	fneq2d 5982	. . . . . . . . . . 11
164	158, 163	mpbid 222	. . . . . . . . . 10
165	164	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
166		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 $/\$
167		inidm 3822	. . . . . . . . 9
168		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
169		fvun2 6270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
170	146, 149, 169	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	156, 170	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	147	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . 12
173	172	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
174	171, 173	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
175	174	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
176	143, 165, 166, 166, 167, 168, 175	ofval 6906	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
177	138, 176	mpdan 702	. . . . . . 7 $/\$
178		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
179	140, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ..^
180	179	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
181		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . 11 ..^
182	180, 181	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
183	182	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 $/\$
184	138, 183	syldan 487	. . . . . . . 8 $/\$
185	184	addid1d 10236	. . . . . . 7 $/\$
186	131, 177, 185	3eqtrd 2660	. . . . . 6 $/\$
187	66, 186	syldan 487	. . . . 5 $/\$ $/\$
188		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
189	188	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
190	189	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
191	190	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . . . . . 16
192		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
193	192	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
194	192	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
195	194	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
196	195	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
197	194	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
198	197	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
199	196, 198	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
200	193, 199	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
201	200	csbeq2dv 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16
202	191, 201	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15
203	202	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . 14
204	203	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13
205	204, 5	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . 12 ..^ $/\$
206	205	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11
207	3, 206	syl 17	. . . . . . . . . 10
208		poimirlem11.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16
209		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
210	208, 209	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
211	210	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
212	211, 95	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
213	212, 112	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
214	213	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . 11 $/\$
215	115	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
216	215	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . 16
217	119	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
218	217	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . 16
219	216, 218	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . 15
220	219	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
221	220	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
222	45, 221	csbied 3560	. . . . . . . . . . . 12
223	222	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
224	214, 223	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
225		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10
226	207, 224, 102, 225	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9
227	226	fveq1d 6193	. . . . . . . 8
228	227	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
229	20	sselda 3603	. . . . . . . 8 $/\$
230		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
231	9, 230	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ..^
232		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . 11 ..^
233	231, 232	syl 17	. . . . . . . . . 10
234	233	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
235		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . 14
236	144, 235	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
237		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . 14
238	147, 237	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
239	236, 238	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
240		dff1o3 6143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
241	240	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . 15
242	15, 241	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
243		imain 5974	. . . . . . . . . . . . . 14
244	242, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
245	57	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14
246		ima0 5481	. . . . . . . . . . . . . 14
247	245, 246	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
248	244, 247	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12
249		fnun 5997	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
250	239, 248, 249	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11
251		imaundi 5545	. . . . . . . . . . . . 13
252	47	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14
253		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . 16
254	15, 253	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
255		foima 6120	. . . . . . . . . . . . . . 15
256	254, 255	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
257	252, 256	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13
258	251, 257	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . 12
259	258	fneq2d 5982	. . . . . . . . . . 11
260	250, 259	mpbid 222	. . . . . . . . . 10
261	260	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
262		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 $/\$
263		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
264		fvun1 6269	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
265	236, 238, 264	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
266	248, 265	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$
267	144	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . 12
268	267	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
269	266, 268	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
270	269	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
271	234, 261, 262, 262, 167, 263, 270	ofval 6906	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
272	229, 271	mpdan 702	. . . . . . 7 $/\$
273	228, 272	eqtrd 2656	. . . . . 6 $/\$
274	273	adantrr 753	. . . . 5 $/\$ $/\$
275		poimirlem22.1	. . . . . . . . 9
276	98, 5, 275, 21, 87	poimirlem10 33419	. . . . . . . 8
277	98, 5, 275, 3, 208	poimirlem10 33419	. . . . . . . 8
278	276, 277	eqtr3d 2658	. . . . . . 7
279	278	fveq1d 6193	. . . . . 6
280	279	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$
281	187, 274, 280	3eqtr3d 2664	. . . 4 $/\$ $/\$
282		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
283	231, 282	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ..^
284	283	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
285		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . 10 ..^
286	284, 285	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
287	286	nn0red 11352	. . . . . . . 8 $/\$
288	287	ltp1d 10954	. . . . . . . 8 $/\$
289	287, 288	gtned 10172	. . . . . . 7 $/\$
290	229, 289	syldan 487	. . . . . 6 $/\$
291	290	neneqd 2799	. . . . 5 $/\$
292	291	adantrr 753	. . . 4 $/\$ $/\$
293	281, 292	pm2.65da 600	. . 3 $/\$
294		iman 440	. . 3 $/\$
295	293, 294	sylibr 224	. 2
296	295	ssrdv 3609	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

cab 2608

wne 2794

crab 2916

cvv 3200

csb 3533 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cif 4086

csn 4177 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

ccnv 5113

crn 5115

cima 5117

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

wfo 5886

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cof 6895

c1st 7166

c2nd 7167

cmap 7857

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cfz 12326 ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466

This theorem is referenced by: poimirlem13 33422

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