poimirlem13 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem poimirlem13 33422

Description: Lemma for poimir 33442- for at most one simplex associated with a shared face is the opposite vertex first on the walk. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
poimir.0
poimirlem22.s	..^
poimirlem22.1

**Assertion**
Ref	Expression
poimirlem13

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem poimirlem13 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poimir.0	. . . . . . . . 9
2	1	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3		poimirlem22.s	. . . . . . . 8 ..^
4		poimirlem22.1	. . . . . . . . 9
5	4	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simplrl 800	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		simprl 794	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	2, 3, 5, 6, 7	poimirlem10 33419	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9		simplrr 801	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		simprr 796	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	2, 3, 5, 9, 10	poimirlem10 33419	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	8, 11	eqtr3d 2658	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
14	13, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . 13 ..^
15		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ..^
17		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . 12 ..^
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11
19		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12
20		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . 12
21	19, 20	elab 3350	. . . . . . . . . . 11
22	18, 21	sylib 208	. . . . . . . . . 10
23		f1ofn 6138	. . . . . . . . . 10
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
26	25	ad2antlr 763	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
28	27, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . 13 ..^
29		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ..^
31		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . 12 ..^
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11
33		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12
34		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . 12
35	33, 34	elab 3350	. . . . . . . . . . 11
36	32, 35	sylib 208	. . . . . . . . . 10
37		f1ofn 6138	. . . . . . . . . 10
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9
39	38	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
40	39	ad2antlr 763	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14
44	43	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . 13
45	43	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . 13
46	44, 45	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12
47	42, 46	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
51	50	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
54	53	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	48, 3, 49, 51, 52, 54, 55, 56	poimirlem11 33420	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	48, 3, 49, 54, 55, 51, 52, 56	poimirlem11 33420	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	57, 58	eqssd 3620	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	47, 59	chvarv 2263	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
63		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
66	62	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
68		subeq0 10307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
69	66, 67, 68	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
70	69	necon3abid 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71	70	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
72		elnnne0 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
73	65, 71, 72	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
75	64	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
77	62	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
79	1	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
81	77	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
83		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
85	76, 78, 80, 82, 84	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
86	85	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
87	1	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
88		fznn 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
91	74, 86, 90	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
92	61, 91	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14
94		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16
95	94	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
97	96	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
98	96	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
99	97, 98	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15
100	95, 99	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	93, 100, 59	vtocl 3259	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	92, 101	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102	expr 643	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		ima0 5481	. . . . . . . . . . . . 13
105		ima0 5481	. . . . . . . . . . . . 13
106	104, 105	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . 12
107		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . . . 16
109	107, 108	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15
110	109	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
111		fz10 12362	. . . . . . . . . . . . . 14
112	110, 111	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
113	112	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . 12
114	112	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . 12
115	106, 113, 114	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . 11
116	103, 115	pm2.61d2 172	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	60, 116	difeq12d 3729	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
118		fnsnfv 6258	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
119	24, 118	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$
120	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . . 16
122	121	difeq1i 3724	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
123		difun2 4048	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
124	122, 123	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
125		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
126		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127	125, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	128	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	127, 129	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	63	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136	127, 135	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
137		fzsplit2 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
138	130, 136, 137	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16
139	127	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
141		fzsn 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
142	140, 141	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
143	139, 142	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
144	143	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . 16
145	138, 144	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15
146	145	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
147		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . 16
148		ltm1 10863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
150		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
151	149, 150	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
152	148, 151	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
153		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
154	152, 153	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . . 16
155	147, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
156		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157	156	eqeq1i 2627	. . . . . . . . . . . . . . . 16
158		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . 16
159		disj3 4021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$
160	157, 158, 159	3bitr3i 290	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
161	155, 160	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
162	124, 146, 161	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
163	120, 162	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
164	163	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
165		dff1o3 6143	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
166	165	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14
167	22, 166	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
168		imadif 5973	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
170	169	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $\$
171	119, 164, 170	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
172	6, 171	sylan 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
173		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13
174	173	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
175		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
176	175	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15
177	176	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14
178	177	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . 13
179	176	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . 14
180	176	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . 14
181	179, 180	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
182	178, 181	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
183	174, 182	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$ $\$
184	183, 171	chvarv 2263	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
185	9, 184	sylan 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
186	117, 172, 185	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187		fvex 6201	. . . . . . . . 9
188	187	sneqr 4371	. . . . . . . 8
189	186, 188	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	26, 40, 189	eqfnfvd 6314	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191		xpopth 7207	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ ..^ $/\$
192	16, 30, 191	syl2an 494	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
193	192	ad2antlr 763	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
194	12, 190, 193	mpbi2and 956	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
195		eqtr3 2643	. . . . . 6 $/\$
196	195	adantl 482	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
197		xpopth 7207	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^ $/\$
198	14, 28, 197	syl2an 494	. . . . . 6 $/\$ $/\$
199	198	ad2antlr 763	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200	194, 196, 199	mpbi2and 956	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201	200	ex 450	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
202	201	ralrimivva 2971	. 2 $/\$
203		fveq2 6191	. . . 4
204	203	eqeq1d 2624	. . 3
205	204	rmo4 3399	. 2 $/\$
206	202, 205	sylibr 224	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

cab 2608

wne 2794

wral 2912

wrmo 2915

crab 2916

csb 3533 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

c0 3915

cif 4086

csn 4177 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

ccnv 5113

cima 5117

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

wfo 5886

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cof 6895

c1st 7166

c2nd 7167

cmap 7857

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466

This theorem is referenced by: poimirlem18 33427 poimirlem21 33430

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