poimirlem12 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem poimirlem12 33421

Description: Lemma for poimir 33442 connecting walks that could yield from a given cube a given face opposite the final vertex of the walk. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
poimir.0
poimirlem22.s	..^
poimirlem22.1
poimirlem12.2
poimirlem12.3
poimirlem12.4
poimirlem12.5
poimirlem12.6

**Assertion**
Ref	Expression
poimirlem12

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

**Proof of Theorem poimirlem12**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3584	. . . . . . 7 $\$ $/\$
2		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . 12
3		poimirlem12.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16
4		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
5		poimirlem22.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
6	4, 5	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
7		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
8	3, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
9		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
11		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15
12		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	11, 12	elab 3350	. . . . . . . . . . . . . 14
14	10, 13	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13
15		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . 13
16		frn 6053	. . . . . . . . . . . . 13
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12
18	2, 17	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . 11
19		poimirlem12.4	. . . . . . . . . . . . . . 15
20		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
21	20, 5	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
22		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
23	19, 21, 22	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
24		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
26		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14
27		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . . 14
28	26, 27	elab 3350	. . . . . . . . . . . . 13
29	25, 28	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12
30		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . 12
31		foima 6120	. . . . . . . . . . . 12
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . 11
33	18, 32	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . 10
34	33	ssdifd 3746	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
35		dff1o3 6143	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
36	35	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11
37		imadif 5973	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
38	29, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
39		difun2 4048	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
40		poimirlem12.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
41		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
42		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
43	40, 41, 42	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16
44		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45	43, 44	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15
46		poimir.0	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47	46	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
48		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
51		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
52	40, 50, 51	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53	49, 52	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15
54		fzsplit2 12366	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
55	45, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14
56		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . 14
57	55, 56	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
58	57	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
59		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . 14
60	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61	60	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62	61	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . 15
63		fzdisj 12368	. . . . . . . . . . . . . . 15
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
65	59, 64	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13
66		disj3 4021	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
67	65, 66	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 $\$
68	39, 58, 67	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . 11 $\$
69	68	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . 10 $\$
70	38, 69	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 $\$
71	34, 70	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 $\$
72	71	sselda 3603	. . . . . . 7 $/\$ $\$
73	1, 72	sylan2br 493	. . . . . 6 $/\$ $/\$
74		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
75	74	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76	75	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
77	76	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
80	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
81	80	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
82	81	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
83	80	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
84	83	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
85	82, 84	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
86	79, 85	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
87	86	csbeq2dv 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16
88	77, 87	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	88	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . 14
90	89	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13
91	90, 5	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . 12 ..^ $/\$
92	91	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11
93	19, 92	syl 17	. . . . . . . . . 10
94		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14
95		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14
96	94, 95	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . 13
97	46	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
98		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
100		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
101	40, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
102	97	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . 16
103	61, 99, 97, 101, 102	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . 15
104		poimirlem12.5	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	103, 104	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14
106	105	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . 13
107	96, 106	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
108	107	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110	109	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
111	110	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . 16
112		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113	112	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114	113	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	114	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	111, 115	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	116	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
118	117	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
119	40, 118	csbied 3560	. . . . . . . . . . . 12
120	119	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
121	108, 120	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
122		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10
123	93, 121, 40, 122	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9
124	123	fveq1d 6193	. . . . . . . 8
125	124	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
126		imassrn 5477	. . . . . . . . . 10
127		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11
128		frn 6053	. . . . . . . . . . 11
129	29, 127, 128	3syl 18	. . . . . . . . . 10
130	126, 129	syl5ss 3614	. . . . . . . . 9
131	130	sselda 3603	. . . . . . . 8 $/\$
132		xp1st 7198	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
133		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . 11 ..^
134	23, 132, 133	3syl 18	. . . . . . . . . 10
135	134	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
136		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . 14
137		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . 14
138	136, 137	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
139		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . 14
140		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . 14
141	139, 140	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
142	138, 141	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
143		imain 5974	. . . . . . . . . . . . . 14
144	29, 36, 143	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13
145	64	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14
146		ima0 5481	. . . . . . . . . . . . . 14
147	145, 146	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
148	144, 147	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12
149		fnun 5997	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
150	142, 148, 149	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11
151		imaundi 5545	. . . . . . . . . . . . 13
152	55	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14
153	152, 32	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13
154	151, 153	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . 12
155	154	fneq2d 5982	. . . . . . . . . . 11
156	150, 155	mpbid 222	. . . . . . . . . 10
157	156	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
158		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 $/\$
159		inidm 3822	. . . . . . . . 9
160		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
161		fvun2 6270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
162	138, 141, 161	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
163	148, 162	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$
164	139	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . 12
165	164	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
166	163, 165	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
167	166	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
168	135, 157, 158, 158, 159, 160, 167	ofval 6906	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
169	131, 168	mpdan 702	. . . . . . 7 $/\$
170		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
171	23, 132, 170	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ..^
172	171	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
173		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . 11 ..^
174	172, 173	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
175	174	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 $/\$
176	175	addid1d 10236	. . . . . . . 8 $/\$
177	131, 176	syldan 487	. . . . . . 7 $/\$
178	125, 169, 177	3eqtrd 2660	. . . . . 6 $/\$
179	73, 178	syldan 487	. . . . 5 $/\$ $/\$
180		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
181	180	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
182	181	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
183	182	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . . . . . 16
184		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
185	184	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
186	184	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
187	186	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
188	187	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
189	186	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
190	189	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
191	188, 190	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
192	185, 191	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
193	192	csbeq2dv 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16
194	183, 193	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15
195	194	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . 14
196	195	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13
197	196, 5	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . 12 ..^ $/\$
198	197	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11
199	3, 198	syl 17	. . . . . . . . . 10
200		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14
201	200, 95	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . 13
202		poimirlem12.3	. . . . . . . . . . . . . . 15
203	103, 202	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14
204	203	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . 13
205	201, 204	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
206	205	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . 11 $/\$
207	109	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
208	207	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . 16
209	113	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
210	209	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . 16
211	208, 210	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . 15
212	211	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
213	212	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
214	40, 213	csbied 3560	. . . . . . . . . . . 12
215	214	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
216	206, 215	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
217		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10
218	199, 216, 40, 217	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9
219	218	fveq1d 6193	. . . . . . . 8
220	219	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
221	18	sselda 3603	. . . . . . . 8 $/\$
222		xp1st 7198	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
223		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . 11 ..^
224	8, 222, 223	3syl 18	. . . . . . . . . 10
225	224	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
226		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . 14
227	136, 226	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
228		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . 14
229	139, 228	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
230	227, 229	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
231		dff1o3 6143	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
232	231	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14
233		imain 5974	. . . . . . . . . . . . . 14
234	14, 232, 233	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13
235	64	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14
236		ima0 5481	. . . . . . . . . . . . . 14
237	235, 236	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
238	234, 237	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12
239		fnun 5997	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
240	230, 238, 239	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11
241		imaundi 5545	. . . . . . . . . . . . 13
242	55	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14
243		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . 15
244		foima 6120	. . . . . . . . . . . . . . 15
245	14, 243, 244	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14
246	242, 245	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13
247	241, 246	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . 12
248	247	fneq2d 5982	. . . . . . . . . . 11
249	240, 248	mpbid 222	. . . . . . . . . 10
250	249	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
251		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 $/\$
252		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
253		fvun1 6269	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
254	227, 229, 253	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
255	238, 254	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$
256	136	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . 12
257	256	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
258	255, 257	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
259	258	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
260	225, 250, 251, 251, 159, 252, 259	ofval 6906	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
261	221, 260	mpdan 702	. . . . . . 7 $/\$
262	220, 261	eqtrd 2656	. . . . . 6 $/\$
263	262	adantrr 753	. . . . 5 $/\$ $/\$
264	46	nngt0d 11064	. . . . . . . . . 10
265	264, 104	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9
266	46, 5, 19, 265	poimirlem5 33414	. . . . . . . 8
267	264, 202	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9
268	46, 5, 3, 267	poimirlem5 33414	. . . . . . . 8
269	266, 268	eqtr3d 2658	. . . . . . 7
270	269	fveq1d 6193	. . . . . 6
271	270	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$
272	179, 263, 271	3eqtr3d 2664	. . . 4 $/\$ $/\$
273		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
274	8, 222, 273	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ..^
275	274	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
276		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . 10 ..^
277	275, 276	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
278	277	nn0red 11352	. . . . . . . 8 $/\$
279	278	ltp1d 10954	. . . . . . . 8 $/\$
280	278, 279	gtned 10172	. . . . . . 7 $/\$
281	221, 280	syldan 487	. . . . . 6 $/\$
282	281	neneqd 2799	. . . . 5 $/\$
283	282	adantrr 753	. . . 4 $/\$ $/\$
284	272, 283	pm2.65da 600	. . 3 $/\$
285		iman 440	. . 3 $/\$
286	284, 285	sylibr 224	. 2
287	286	ssrdv 3609	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

cab 2608

wne 2794

crab 2916

cvv 3200

csb 3533 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cif 4086

csn 4177 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

ccnv 5113

crn 5115

cima 5117

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

wfo 5886

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cof 6895

c1st 7166

c2nd 7167

cmap 7857

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cn0 11292

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466

This theorem is referenced by: poimirlem14 33423

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