Theorem prdsbl 22296

Description: A ball in the product metric for finite index set is the Cartesian product of balls in all coordinates. For infinite index set this is no longer true; instead the correct statement is that a *closed ball* is the product of closed balls in each coordinate (where closed ball means a set of the form in blcld 22310) - for a counterexample the point p in RR ^ NN whose n-th coordinate is 1 - 1 / n is in X_ n e. NN ball ( 0 , 1 ) but is not in the 1-ball of the product (since d ( 0 , p ) = 1).

The last assumption, 0 < A, is needed only in the case I = (/), when the right side evaluates to { (/) } and the left evaluates to (/) if A <_ 0 and { (/) } if 0 < A. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbl.y	|- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
prdsbl.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsbl.v	|- V = ( Base ` R )
prdsbl.e	|- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
prdsbl.d	|- D = ( dist ` Y )
prdsbl.s	|- ( ph -> S e. W )
prdsbl.i	|- ( ph -> I e. Fin )
prdsbl.r	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
prdsbl.m	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
prdsbl.p	|- ( ph -> P e. B )
prdsbl.a	|- ( ph -> A e. RR* )
prdsbl.g	|- ( ph -> 0 < A )

Assertion

Ref	Expression
prdsbl	|- ( ph -> ( P ( ball ` D ) A ) = X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, I   x, P   ph, x

Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   E( x)   V( x)   W( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem prdsbl

Dummy variables f z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbl.y	. . . . . . . . 9 |- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
2		prdsbl.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` Y )
3		prdsbl.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. W )
4		prdsbl.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. Fin )
5		prdsbl.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
6	5	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. I R e. Z )
7		prdsbl.v	. . . . . . . . 9 |- V = ( Base ` R )
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	prdsbas3 16141	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = X_ x e. I V )
9	8	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( f e. B <-> f e. X_ x e. I V ) )
10	9	biimpa 501	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> f e. X_ x e. I V )
11		ixpfn 7914	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. I V -> f Fn I )
12		vex 3203	. . . . . . . 8 |- f e. _V
13	12	elixp 7915	. . . . . . 7 |- ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> ( f Fn I /\ A. x e. I ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
14	13	baib 944	. . . . . 6 |- ( f Fn I -> ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> A. x e. I ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
15	10, 11, 14	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> A. x e. I ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
16		prdsbl.m	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
17	16	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
18		prdsbl.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> A e. RR* )
20		prdsbl.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. B )
21	1, 2, 3, 4, 6, 7, 20	prdsbascl 16143	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. I ( P ` x ) e. V )
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. x e. I ( P ` x ) e. V )
23	22	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( P ` x ) e. V )
24	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> S e. W )
25	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> I e. Fin )
26	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. x e. I R e. Z )
27		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> f e. B )
28	1, 2, 24, 25, 26, 7, 27	prdsbascl 16143	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
29	28	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. V )
30		elbl2 22195	. . . . . . 7 |- ( ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ A e. RR* ) /\ ( ( P ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V ) ) -> ( ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
31	17, 19, 23, 29, 30	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
32	31	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. x e. I ( f ` x ) e. ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
33		xmetcl 22136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( P ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
34	17, 23, 29, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
35	34	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
36		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) )
37		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) -> ( z < A <-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
38	36, 37	ralrnmpt 6368	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A <-> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
39	35, 38	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A <-> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
40		prdsbl.g	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < A )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> 0 < A )
42		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
43		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 0 -> ( z < A <-> 0 < A ) )
44	42, 43	ralsn 4222	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. { 0 } z < A <-> 0 < A )
45	41, 44	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> A. z e. { 0 } z < A )
46		ralunb 3794	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) z < A <-> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A /\ A. z e. { 0 } z < A ) )
47	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> P e. B )
48		prdsbl.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
49		prdsbl.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( dist ` Y )
50	1, 2, 24, 25, 26, 47, 27, 7, 48, 49	prdsdsval3 16145	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( P D f ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
51		xrltso 11974	. . . . . . . . . . . . 13 |- < Or RR*
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> < Or RR* )
53	36	rnmpt 5371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) = { y | E. x e. I y = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) }
54		abrexfi 8266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. Fin -> { y | E. x e. I y = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) } e. Fin )
55	53, 54	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I e. Fin -> ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) e. Fin )
56	25, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) e. Fin )
57		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 } e. Fin
58		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) e. Fin /\ { 0 } e. Fin ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) e. Fin )
59	56, 57, 58	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) e. Fin )
60		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { 0 } C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } )
61	42	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
62	60, 61	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } )
63		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) =/= (/) )
64	62, 63	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) =/= (/) )
65	34, 36	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) : I --> RR* )
66		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ RR* )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ RR* )
68		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR*
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> 0 e. RR* )
70	69	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> { 0 } C_ RR* )
71	67, 70	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
72		fisupcl 8375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( < Or RR* /\ ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) e. Fin /\ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) =/= (/) /\ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* ) ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
73	52, 59, 64, 71, 72	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
74	50, 73	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( P D f ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
75		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( P D f ) -> ( z < A <-> ( P D f ) < A ) )
76	75	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P D f ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) -> ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) z < A -> ( P D f ) < A ) )
77	74, 76	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) z < A -> ( P D f ) < A ) )
78	46, 77	syl5bir 233	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A /\ A. z e. { 0 } z < A ) -> ( P D f ) < A ) )
79	45, 78	mpan2d 710	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) z < A -> ( P D f ) < A ) )
80	39, 79	sylbird 250	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A -> ( P D f ) < A ) )
81	71	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
82		ssun1 3776	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } )
83		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. _V
84	83	elabrex 6501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. I -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. { y | E. x e. I y = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) } )
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. { y | E. x e. I y = ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) } )
86	85, 53	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) )
87	82, 86	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
88		supxrub 12154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
89	81, 87, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
90	50	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( P D f ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
91	89, 90	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( P D f ) )
92	1, 2, 7, 48, 49, 3, 4, 5, 16	prdsxmet 22174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )
93	92	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> D e. ( *Met ` B ) )
94	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> P e. B )
95	27	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> f e. B )
96		xmetcl 22136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` B ) /\ P e. B /\ f e. B ) -> ( P D f ) e. RR* )
97	93, 94, 95, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( P D f ) e. RR* )
98		xrlelttr 11987	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* /\ ( P D f ) e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( ( ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( P D f ) /\ ( P D f ) < A ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
99	34, 97, 19, 98	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( P D f ) /\ ( P D f ) < A ) -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
100	91, 99	mpand 711	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ x e. I ) -> ( ( P D f ) < A -> ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
101	100	ralrimdva 2969	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ( P D f ) < A -> A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A ) )
102	80, 101	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( A. x e. I ( ( P ` x ) E ( f ` x ) ) < A <-> ( P D f ) < A ) )
103	15, 32, 102	3bitrrd 295	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ( P D f ) < A <-> f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
104	103	pm5.32da 673	. . 3 |- ( ph -> ( ( f e. B /\ ( P D f ) < A ) <-> ( f e. B /\ f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) ) )
105		elbl 22193	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` B ) /\ P e. B /\ A e. RR* ) -> ( f e. ( P ( ball ` D ) A ) <-> ( f e. B /\ ( P D f ) < A ) ) )
106	92, 20, 18, 105	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( f e. ( P ( ball ` D ) A ) <-> ( f e. B /\ ( P D f ) < A ) ) )
107	21	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( P ` x ) e. V )
108	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> A e. RR* )
109		blssm 22223	. . . . . . . . 9 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( P ` x ) e. V /\ A e. RR* ) -> ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ V )
110	16, 107, 108, 109	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ V )
111	110	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ V )
112		ss2ixp 7921	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ V -> X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ X_ x e. I V )
113	111, 112	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ X_ x e. I V )
114	113, 8	sseqtr4d 3642	. . . . 5 |- ( ph -> X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) C_ B )
115	114	sseld 3602	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) -> f e. B ) )
116	115	pm4.71rd 667	. . 3 |- ( ph -> ( f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) <-> ( f e. B /\ f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) ) )
117	104, 106, 116	3bitr4d 300	. 2 |- ( ph -> ( f e. ( P ( ball ` D ) A ) <-> f e. X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) ) )
118	117	eqrdv 2620	1 |- ( ph -> ( P ( ball ` D ) A ) = X_ x e. I ( ( P ` x ) ( ball ` E ) A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   Fincfn 7955   supcsup 8346   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   Basecbs 15857   distcds 15950   X__scprds 16106   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  22334  prdstotbnd  33593  prdsbnd2  33594