Theorem q1peqb 23914

Description: Characterizing property of the polynomial quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
q1pval.q	|- Q = (quot1p ` R )
q1pval.p	|- P = (Poly1 ` R )
q1pval.b	|- B = ( Base ` P )
q1pval.d	|- D = ( deg1 ` R )
q1pval.m	|- .- = ( -g ` P )
q1pval.t	|- .x. = ( .r ` P )
q1peqb.c	|- C = (Unic1p ` R )

Assertion

Ref	Expression
q1peqb	|- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) -> ( ( X e. B /\ ( D ` ( F .- ( X .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> ( F Q G ) = X ) )

Proof of Theorem q1peqb

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. . . 4 |- ( X e. B -> X e. _V )
2	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( X e. B /\ ( D ` ( F .- ( X .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) -> X e. _V )
3	2	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) -> ( ( X e. B /\ ( D ` ( F .- ( X .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) -> X e. _V ) )
4		ovex 6678	. . . 4 |- ( F Q G ) e. _V
5		eleq1 2689	. . . 4 |- ( ( F Q G ) = X -> ( ( F Q G ) e. _V <-> X e. _V ) )
6	4, 5	mpbii 223	. . 3 |- ( ( F Q G ) = X -> X e. _V )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) -> ( ( F Q G ) = X -> X e. _V ) )
8		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) /\ X e. _V ) -> X e. _V )
9		q1pval.p	. . . . . . . 8 |- P = (Poly1 ` R )
10		q1pval.d	. . . . . . . 8 |- D = ( deg1 ` R )
11		q1pval.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` P )
12		q1pval.m	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` P )
13		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
14		q1pval.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` P )
15		simp1 1061	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) -> R e. Ring )
16		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) -> F e. B )
17		q1peqb.c	. . . . . . . . . 10 |- C = (Unic1p ` R )
18	9, 11, 17	uc1pcl 23903	. . . . . . . . 9 |- ( G e. C -> G e. B )
19	18	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) -> G e. B )
20	9, 13, 17	uc1pn0 23905	. . . . . . . . 9 |- ( G e. C -> G =/= ( 0g ` P ) )
21	20	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) -> G =/= ( 0g ` P ) )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
23	10, 22, 17	uc1pldg 23908	. . . . . . . . 9 |- ( G e. C -> ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) e. (Unit ` R ) )
24	23	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) -> ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) e. (Unit ` R ) )
25	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 22	ply1divalg2 23898	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) -> E! q e. B ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) )
26		df-reu 2919	. . . . . . 7 |- ( E! q e. B ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) <-> E! q ( q e. B /\ ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) )
27	25, 26	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) -> E! q ( q e. B /\ ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) )
28	27	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) /\ X e. _V ) -> E! q ( q e. B /\ ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) )
29		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( q = X -> ( q e. B <-> X e. B ) )
30		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( q = X -> ( q .x. G ) = ( X .x. G ) )
31	30	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( q = X -> ( F .- ( q .x. G ) ) = ( F .- ( X .x. G ) ) )
32	31	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( q = X -> ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) = ( D ` ( F .- ( X .x. G ) ) ) )
33	32	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( q = X -> ( ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) <-> ( D ` ( F .- ( X .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) )
34	29, 33	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( q = X -> ( ( q e. B /\ ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> ( X e. B /\ ( D ` ( F .- ( X .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
35	34	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) /\ X e. _V ) /\ q = X ) -> ( ( q e. B /\ ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> ( X e. B /\ ( D ` ( F .- ( X .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
36	8, 28, 35	iota2d 5876	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) /\ X e. _V ) -> ( ( X e. B /\ ( D ` ( F .- ( X .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> ( iota q ( q e. B /\ ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) ) = X ) )
37		q1pval.q	. . . . . . . . 9 |- Q = (quot1p ` R )
38	37, 9, 11, 10, 12, 14	q1pval 23913	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. B /\ G e. B ) -> ( F Q G ) = ( iota_ q e. B ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) )
39	16, 19, 38	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) -> ( F Q G ) = ( iota_ q e. B ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) )
40		df-riota 6611	. . . . . . 7 |- ( iota_ q e. B ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) = ( iota q ( q e. B /\ ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) )
41	39, 40	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) -> ( F Q G ) = ( iota q ( q e. B /\ ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
42	41	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) /\ X e. _V ) -> ( F Q G ) = ( iota q ( q e. B /\ ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
43	42	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) /\ X e. _V ) -> ( ( F Q G ) = X <-> ( iota q ( q e. B /\ ( D ` ( F .- ( q .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) ) = X ) )
44	36, 43	bitr4d 271	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) /\ X e. _V ) -> ( ( X e. B /\ ( D ` ( F .- ( X .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> ( F Q G ) = X ) )
45	44	ex 450	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) -> ( X e. _V -> ( ( X e. B /\ ( D ` ( F .- ( X .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> ( F Q G ) = X ) ) )
46	3, 7, 45	pm5.21ndd 369	1 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. C ) -> ( ( X e. B /\ ( D ` ( F .- ( X .x. G ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> ( F Q G ) = X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!weu 2470   =/= wne 2794   E!wreu 2914   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   iotacio 5849   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   < clt 10074   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   -gcsg 17424   Ringcrg 18547  Unitcui 18639  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814  Unic_1pcuc1p 23886  quot_1pcq1p 23887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-rlreg 19283  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-uc1p 23891  df-q1p 23892

This theorem is referenced by:  q1pcl  23915  r1pdeglt  23918  dvdsq1p  23920