Theorem quart1cl 24581

Description: Closure lemmas for quart 24588. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
quart1.a	|- ( ph -> A e. CC )
quart1.b	|- ( ph -> B e. CC )
quart1.c	|- ( ph -> C e. CC )
quart1.d	|- ( ph -> D e. CC )
quart1.p	|- ( ph -> P = ( B - ( ( 3 / 8 ) x. ( A ^ 2 ) ) ) )
quart1.q	|- ( ph -> Q = ( ( C - ( ( A x. B ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 8 ) ) )
quart1.r	|- ( ph -> R = ( ( D - ( ( C x. A ) / 4 ) ) + ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) / ; 1 6 ) - ( ( 3 / ;; 2 5 6 ) x. ( A ^ 4 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
quart1cl	|- ( ph -> ( P e. CC /\ Q e. CC /\ R e. CC ) )

Proof of Theorem quart1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quart1.p	. . 3 |- ( ph -> P = ( B - ( ( 3 / 8 ) x. ( A ^ 2 ) ) ) )
2		quart1.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
3		3cn 11095	. . . . . 6 |- 3 e. CC
4		8cn 11106	. . . . . 6 |- 8 e. CC
5		8nn 11191	. . . . . . 7 |- 8 e. NN
6	5	nnne0i 11055	. . . . . 6 |- 8 =/= 0
7	3, 4, 6	divcli 10767	. . . . 5 |- ( 3 / 8 ) e. CC
8		quart1.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. CC )
9	8	sqcld 13006	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. CC )
10		mulcl 10020	. . . . 5 |- ( ( ( 3 / 8 ) e. CC /\ ( A ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( 3 / 8 ) x. ( A ^ 2 ) ) e. CC )
11	7, 9, 10	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 3 / 8 ) x. ( A ^ 2 ) ) e. CC )
12	2, 11	subcld 10392	. . 3 |- ( ph -> ( B - ( ( 3 / 8 ) x. ( A ^ 2 ) ) ) e. CC )
13	1, 12	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> P e. CC )
14		quart1.q	. . 3 |- ( ph -> Q = ( ( C - ( ( A x. B ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 8 ) ) )
15		quart1.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
16	8, 2	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A x. B ) e. CC )
17	16	halfcld 11277	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A x. B ) / 2 ) e. CC )
18	15, 17	subcld 10392	. . . 4 |- ( ph -> ( C - ( ( A x. B ) / 2 ) ) e. CC )
19		3nn0 11310	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
20		expcl 12878	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
21	8, 19, 20	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ^ 3 ) e. CC )
22	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 8 e. CC )
23	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 8 =/= 0 )
24	21, 22, 23	divcld 10801	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A ^ 3 ) / 8 ) e. CC )
25	18, 24	addcld 10059	. . 3 |- ( ph -> ( ( C - ( ( A x. B ) / 2 ) ) + ( ( A ^ 3 ) / 8 ) ) e. CC )
26	14, 25	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> Q e. CC )
27		quart1.r	. . 3 |- ( ph -> R = ( ( D - ( ( C x. A ) / 4 ) ) + ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) / ; 1 6 ) - ( ( 3 / ;; 2 5 6 ) x. ( A ^ 4 ) ) ) ) )
28		quart1.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. CC )
29	15, 8	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C x. A ) e. CC )
30		4cn 11098	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
31	30	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 4 e. CC )
32		4ne0 11117	. . . . . . 7 |- 4 =/= 0
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 4 =/= 0 )
34	29, 31, 33	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C x. A ) / 4 ) e. CC )
35	28, 34	subcld 10392	. . . 4 |- ( ph -> ( D - ( ( C x. A ) / 4 ) ) e. CC )
36	9, 2	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) x. B ) e. CC )
37		1nn0 11308	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
38		6nn 11189	. . . . . . . . 9 |- 6 e. NN
39	37, 38	decnncl 11518	. . . . . . . 8 |- ; 1 6 e. NN
40	39	nncni 11030	. . . . . . 7 |- ; 1 6 e. CC
41	40	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ; 1 6 e. CC )
42	39	nnne0i 11055	. . . . . . 7 |- ; 1 6 =/= 0
43	42	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ; 1 6 =/= 0 )
44	36, 41, 43	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) / ; 1 6 ) e. CC )
45		2nn0 11309	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
46		5nn0 11312	. . . . . . . . . 10 |- 5 e. NN0
47	45, 46	deccl 11512	. . . . . . . . 9 |- ; 2 5 e. NN0
48	47, 38	decnncl 11518	. . . . . . . 8 |- ;; 2 5 6 e. NN
49	48	nncni 11030	. . . . . . 7 |- ;; 2 5 6 e. CC
50	48	nnne0i 11055	. . . . . . 7 |- ;; 2 5 6 =/= 0
51	3, 49, 50	divcli 10767	. . . . . 6 |- ( 3 / ;; 2 5 6 ) e. CC
52		4nn0 11311	. . . . . . 7 |- 4 e. NN0
53		expcl 12878	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> ( A ^ 4 ) e. CC )
54	8, 52, 53	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ^ 4 ) e. CC )
55		mulcl 10020	. . . . . 6 |- ( ( ( 3 / ;; 2 5 6 ) e. CC /\ ( A ^ 4 ) e. CC ) -> ( ( 3 / ;; 2 5 6 ) x. ( A ^ 4 ) ) e. CC )
56	51, 54, 55	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 3 / ;; 2 5 6 ) x. ( A ^ 4 ) ) e. CC )
57	44, 56	subcld 10392	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) / ; 1 6 ) - ( ( 3 / ;; 2 5 6 ) x. ( A ^ 4 ) ) ) e. CC )
58	35, 57	addcld 10059	. . 3 |- ( ph -> ( ( D - ( ( C x. A ) / 4 ) ) + ( ( ( ( A ^ 2 ) x. B ) / ; 1 6 ) - ( ( 3 / ;; 2 5 6 ) x. ( A ^ 4 ) ) ) ) e. CC )
59	27, 58	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> R e. CC )
60	13, 26, 59	3jca 1242	1 |- ( ph -> ( P e. CC /\ Q e. CC /\ R e. CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   8c8 11076   NN0cn0 11292  ;cdc 11493   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  quart1  24583  quartlem2  24585  quartlem3  24586  quartlem4  24587  quart  24588