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Theorem relexp0a 38008
Description: Absorbtion law for zeroth power of a relation. (Contributed by RP, 17-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexp0a |- ( ( A e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( A ^r N ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) )
Proof of Theorem relexp0a
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11294 . . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( A ^r x ) = ( A ^r 1 ) )
32oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( ( A ^r x ) ^r 0 ) = ( ( A ^r 1 ) ^r 0 ) )
43sseq1d 3632 . . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( ( A ^r x ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) <-> ( ( A ^r 1 ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) )
54imbi2d 330 . . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( A e. V -> ( ( A ^r x ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) <-> ( A e. V -> ( ( A ^r 1 ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) ) )
6 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( A ^r x ) = ( A ^r y ) )
76oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( A ^r x ) ^r 0 ) = ( ( A ^r y ) ^r 0 ) )
87sseq1d 3632 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( A ^r x ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) <-> ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) )
98imbi2d 330 . . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A e. V -> ( ( A ^r x ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) <-> ( A e. V -> ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) ) )
10 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A ^r x ) = ( A ^r ( y + 1 ) ) )
1110oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A ^r x ) ^r 0 ) = ( ( A ^r ( y + 1 ) ) ^r 0 ) )
1211sseq1d 3632 . . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( A ^r x ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) <-> ( ( A ^r ( y + 1 ) ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) )
1312imbi2d 330 . . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A e. V -> ( ( A ^r x ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) <-> ( A e. V -> ( ( A ^r ( y + 1 ) ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) ) )
14 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( A ^r x ) = ( A ^r N ) )
1514oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( A ^r x ) ^r 0 ) = ( ( A ^r N ) ^r 0 ) )
1615sseq1d 3632 . . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( ( A ^r x ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) <-> ( ( A ^r N ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) )
1716imbi2d 330 . . . . 5 |- ( x = N -> ( ( A e. V -> ( ( A ^r x ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) <-> ( A e. V -> ( ( A ^r N ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) ) )
18 relexp1g 13766 . . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( A ^r 1 ) = A )
1918oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( A e. V -> ( ( A ^r 1 ) ^r 0 ) = ( A ^r 0 ) )
20 ssid 3624 . . . . . 6 |- ( A ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 )
2119, 20syl6eqss 3655 . . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( A ^r 1 ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) )
22 simp2 1062 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ A e. V /\ ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) -> A e. V )
23 simp1 1061 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ A e. V /\ ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) -> y e. NN )
24 relexpsucnnr 13765 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ y e. NN ) -> ( A ^r ( y + 1 ) ) = ( ( A ^r y ) o. A ) )
2524oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ y e. NN ) -> ( ( A ^r ( y + 1 ) ) ^r 0 ) = ( ( ( A ^r y ) o. A ) ^r 0 ) )
2622, 23, 25syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ A e. V /\ ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) -> ( ( A ^r ( y + 1 ) ) ^r 0 ) = ( ( ( A ^r y ) o. A ) ^r 0 ) )
27 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A ^r y ) e. _V
28 coexg 7117 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ^r y ) e. _V /\ A e. V ) -> ( ( A ^r y ) o. A ) e. _V )
2927, 28mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> ( ( A ^r y ) o. A ) e. _V )
30 relexp0g 13762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ^r y ) o. A ) e. _V -> ( ( ( A ^r y ) o. A ) ^r 0 ) = ( _I |` ( dom ( ( A ^r y ) o. A ) u. ran ( ( A ^r y ) o. A ) ) ) )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( ( ( A ^r y ) o. A ) ^r 0 ) = ( _I |` ( dom ( ( A ^r y ) o. A ) u. ran ( ( A ^r y ) o. A ) ) ) )
32 dmcoss 5385 . . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( ( A ^r y ) o. A ) C_ dom A
33 rncoss 5386 . . . . . . . . . . . . 13 |- ran ( ( A ^r y ) o. A ) C_ ran ( A ^r y )
34 unss12 3785 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom ( ( A ^r y ) o. A ) C_ dom A /\ ran ( ( A ^r y ) o. A ) C_ ran ( A ^r y ) ) -> ( dom ( ( A ^r y ) o. A ) u. ran ( ( A ^r y ) o. A ) ) C_ ( dom A u. ran ( A ^r y ) ) )
3532, 33, 34mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 |- ( dom ( ( A ^r y ) o. A ) u. ran ( ( A ^r y ) o. A ) ) C_ ( dom A u. ran ( A ^r y ) )
36 ssres2 5425 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( dom ( ( A ^r y ) o. A ) u. ran ( ( A ^r y ) o. A ) ) C_ ( dom A u. ran ( A ^r y ) ) -> ( _I |` ( dom ( ( A ^r y ) o. A ) u. ran ( ( A ^r y ) o. A ) ) ) C_ ( _I |` ( dom A u. ran ( A ^r y ) ) ) )
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( _I |` ( dom ( ( A ^r y ) o. A ) u. ran ( ( A ^r y ) o. A ) ) ) C_ ( _I |` ( dom A u. ran ( A ^r y ) ) )
3831, 37syl6eqss 3655 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( ( ( A ^r y ) o. A ) ^r 0 ) C_ ( _I |` ( dom A u. ran ( A ^r y ) ) ) )
3922, 38syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ A e. V /\ ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) -> ( ( ( A ^r y ) o. A ) ^r 0 ) C_ ( _I |` ( dom A u. ran ( A ^r y ) ) ) )
40 resundi 5410 . . . . . . . . . . 11 |- ( _I |` ( dom A u. ran ( A ^r y ) ) ) = ( ( _I |` dom A ) u. ( _I |` ran ( A ^r y ) ) )
41 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom A C_ ( dom A u. ran A )
42 ssres2 5425 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom A C_ ( dom A u. ran A ) -> ( _I |` dom A ) C_ ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _I |` dom A ) C_ ( _I |` ( dom A u. ran A ) )
44 relexp0g 13762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. V -> ( A ^r 0 ) = ( _I |` ( dom A u. ran A ) ) )
4543, 44syl5sseqr 3654 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. V -> ( _I |` dom A ) C_ ( A ^r 0 ) )
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) -> ( _I |` dom A ) C_ ( A ^r 0 ) )
47 ssun2 3777 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( A ^r y ) C_ ( dom ( A ^r y ) u. ran ( A ^r y ) )
48 ssres2 5425 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran ( A ^r y ) C_ ( dom ( A ^r y ) u. ran ( A ^r y ) ) -> ( _I |` ran ( A ^r y ) ) C_ ( _I |` ( dom ( A ^r y ) u. ran ( A ^r y ) ) ) )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _I |` ran ( A ^r y ) ) C_ ( _I |` ( dom ( A ^r y ) u. ran ( A ^r y ) ) )
50 relexp0g 13762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A ^r y ) e. _V -> ( ( A ^r y ) ^r 0 ) = ( _I |` ( dom ( A ^r y ) u. ran ( A ^r y ) ) ) )
5127, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A ^r y ) ^r 0 ) = ( _I |` ( dom ( A ^r y ) u. ran ( A ^r y ) ) )
5249, 51sseqtr4i 3638 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( _I |` ran ( A ^r y ) ) C_ ( ( A ^r y ) ^r 0 )
53 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) -> ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) )
5452, 53syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) -> ( _I |` ran ( A ^r y ) ) C_ ( A ^r 0 ) )
5546, 54unssd 3789 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) -> ( ( _I |` dom A ) u. ( _I |` ran ( A ^r y ) ) ) C_ ( A ^r 0 ) )
5640, 55syl5eqss 3649 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) -> ( _I |` ( dom A u. ran ( A ^r y ) ) ) C_ ( A ^r 0 ) )
57563adant1 1079 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. NN /\ A e. V /\ ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) -> ( _I |` ( dom A u. ran ( A ^r y ) ) ) C_ ( A ^r 0 ) )
5839, 57sstrd 3613 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ A e. V /\ ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) -> ( ( ( A ^r y ) o. A ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) )
5926, 58eqsstrd 3639 . . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ A e. V /\ ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) -> ( ( A ^r ( y + 1 ) ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) )
60593exp 1264 . . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( A e. V -> ( ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) -> ( ( A ^r ( y + 1 ) ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) ) )
6160a2d 29 . . . . 5 |- ( y e. NN -> ( ( A e. V -> ( ( A ^r y ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) -> ( A e. V -> ( ( A ^r ( y + 1 ) ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) ) )
625, 9, 13, 17, 21, 61nnind 11038 . . . 4 |- ( N e. NN -> ( A e. V -> ( ( A ^r N ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) )
63 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( A ^r N ) = ( A ^r 0 ) )
6463oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( ( A ^r N ) ^r 0 ) = ( ( A ^r 0 ) ^r 0 ) )
65 relexp0idm 38007 . . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( ( A ^r 0 ) ^r 0 ) = ( A ^r 0 ) )
6664, 65sylan9eq 2676 . . . . . 6 |- ( ( N = 0 /\ A e. V ) -> ( ( A ^r N ) ^r 0 ) = ( A ^r 0 ) )
67 eqimss 3657 . . . . . 6 |- ( ( ( A ^r N ) ^r 0 ) = ( A ^r 0 ) -> ( ( A ^r N ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) )
6866, 67syl 17 . . . . 5 |- ( ( N = 0 /\ A e. V ) -> ( ( A ^r N ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) )
6968ex 450 . . . 4 |- ( N = 0 -> ( A e. V -> ( ( A ^r N ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) )
7062, 69jaoi 394 . . 3 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( A e. V -> ( ( A ^r N ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) )
711, 70sylbi 207 . 2 |- ( N e. NN0 -> ( A e. V -> ( ( A ^r N ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) ) )
7271impcom 446 1 |- ( ( A e. V /\ N e. NN0 ) -> ( ( A ^r N ) ^r 0 ) C_ ( A ^r 0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ^r crelexp 13760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-relexp 13761
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