Theorem divrecd 10804

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divcld.3	|- ( ph -> B =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
divrecd	|- ( ph -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )

Proof of Theorem divrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divcld.3	. 2 |- ( ph -> B =/= 0 )
4		divrec 10701	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1326	1 |- ( ph -> ( A / B ) = ( A x. ( 1 / B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  prodgt0  10868  ltdiv1  10887  ltrec  10905  lediv12a  10916  expsub  12908  expdiv  12911  rlimdiv  14376  isumdivc  14495  fsumdivc  14518  trirecip  14595  geo2sum  14604  geo2lim  14606  prodfdiv  14628  ege2le3  14820  eftlub  14839  eirrlem  14932  prmreclem4  15623  m1expaddsub  17918  abvdiv  18837  cnsubrg  19806  nmdvr  22474  nmoi2  22534  cphdivcl  22982  ipcau2  23033  divcncf  23216  ovolsca  23283  dvmptdiv  23737  dvsincos  23744  plyeq0lem  23966  plydivlem4  24051  aalioulem4  24090  geolim3  24094  aaliou3lem8  24100  taylthlem2  24128  advlogexp  24401  cxpsub  24428  divcxp  24433  dvcxp1  24481  dvcncxp1  24484  relogbdiv  24517  lawcoslem1  24545  dvatan  24662  leibpi  24669  log2tlbnd  24672  fsumharmonic  24738  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem3  24757  lgamgulmlem4  24758  basellem8  24814  chebbnd1  25161  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrmusumlema  25182  dchrisum0lema  25203  dchrisum0lem1  25205  dchrisum0lem2a  25206  dchrisum0lem2  25207  dchrmusumlem  25211  mulogsumlem  25220  mulogsum  25221  logdivsum  25222  mulog2sumlem1  25223  vmalogdivsum2  25227  2vmadivsumlem  25229  log2sumbnd  25233  logdivbnd  25245  selberg4lem1  25249  selberg34r  25260  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem6  25272  pntpbnd2  25276  smcnlem  27552  ipasslem5  27690  omssubadd  30362  logdivsqrle  30728  knoppndvlem14  32516  dvtan  33460  areacirclem1  33500  areacirclem4  33503  irrapxlem5  37390  pell14qrdivcl  37429  hashnzfzclim  38521  binomcxplemnotnn0  38555  ltdiv23neg  39617  climdivf  39844  divlimc  39888  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  dvnxpaek  40157  stoweidlem36  40253  wallispi  40287  stirlinglem7  40297  dirkercncflem2  40321  dirkercncflem4  40323  fourierdlem39  40363  fourierdlem40  40364  fourierdlem56  40379  fourierdlem62  40385  fourierdlem78  40401  fourierdlem83  40406  fourierdlem95  40418  smfdiv  41004  dignn0flhalflem1  42409  amgmlemALT  42549  young2d  42551