Theorem rpnnen2lem7 14949

Description: Lemma for rpnnen2 14955. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	|- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem7	|- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( ( F ` A ) ` k ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( ( F ` B ) ` k ) )

Distinct variable groups:   x, n, k, A   B, k, n, x   k, F   k, M, n, x

Allowed substitution hints:   F( x, n)

Proof of Theorem rpnnen2lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		simp3 1063	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) -> M e. NN )
3	2	nnzd 11481	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) -> M e. ZZ )
4		eqidd 2623	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` A ) ` k ) = ( ( F ` A ) ` k ) )
5		eluznn 11758	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN )
6	2, 5	sylan 488	. . 3 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN )
7		sstr 3611	. . . . . 6 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN ) -> A C_ NN )
8	7	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) -> A C_ NN )
9		rpnnen2.1	. . . . . 6 |- F = ( x e. ~P NN |-> ( n e. NN |-> if ( n e. x , ( ( 1 / 3 ) ^ n ) , 0 ) ) )
10	9	rpnnen2lem2 14944	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> ( F ` A ) : NN --> RR )
11	8, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) -> ( F ` A ) : NN --> RR )
12	11	ffvelrnda 6359	. . 3 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` A ) ` k ) e. RR )
13	6, 12	syldan 487	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` A ) ` k ) e. RR )
14		eqidd 2623	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` B ) ` k ) = ( ( F ` B ) ` k ) )
15	9	rpnnen2lem2 14944	. . . . 5 |- ( B C_ NN -> ( F ` B ) : NN --> RR )
16	15	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) -> ( F ` B ) : NN --> RR )
17	16	ffvelrnda 6359	. . 3 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
18	6, 17	syldan 487	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` B ) ` k ) e. RR )
19	9	rpnnen2lem4 14946	. . . . . 6 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> ( 0 <_ ( ( F ` A ) ` k ) /\ ( ( F ` A ) ` k ) <_ ( ( F ` B ) ` k ) ) )
20	19	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ k e. NN ) -> ( ( F ` A ) ` k ) <_ ( ( F ` B ) ` k ) )
21	20	3expa 1265	. . . 4 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` A ) ` k ) <_ ( ( F ` B ) ` k ) )
22	21	3adantl3 1219	. . 3 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` A ) ` k ) <_ ( ( F ` B ) ` k ) )
23	6, 22	syldan 487	. 2 |- ( ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` A ) ` k ) <_ ( ( F ` B ) ` k ) )
24	9	rpnnen2lem5 14947	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ M e. NN ) -> seq M ( + , ( F ` A ) ) e. dom ~~> )
25	7, 24	stoic3 1701	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) -> seq M ( + , ( F ` A ) ) e. dom ~~> )
26	9	rpnnen2lem5 14947	. . 3 |- ( ( B C_ NN /\ M e. NN ) -> seq M ( + , ( F ` B ) ) e. dom ~~> )
27	26	3adant1 1079	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) -> seq M ( + , ( F ` B ) ) e. dom ~~> )
28	1, 3, 4, 13, 14, 18, 23, 25, 27	isumle 14576	1 |- ( ( A C_ B /\ B C_ NN /\ M e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( ( F ` A ) ` k ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( ( F ` B ) ` k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   3c3 11071   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   ^cexp 12860   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  14953  rpnnen2lem12  14954