Theorem scmatscm 20319

Description: The multiplication of a matrix with a scalar matrix corresponds to a scalar multiplication. (Contributed by AV, 28-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatscm.k	|- K = ( Base ` R )
scmatscm.a	|- A = ( N Mat R )
scmatscm.b	|- B = ( Base ` A )
scmatscm.t	|- .* = ( .s ` A )
scmatscm.m	|- .X. = ( .r ` A )
scmatscm.c	|- S = ( N ScMat R )

Assertion

Ref	Expression
scmatscm	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) -> E. c e. K A. m e. B ( C .X. m ) = ( c .* m ) )

Distinct variable groups:   A, m   C, c, m   K, c, m   N, c, m   R, c, m   S, c, m   .* , m

Allowed substitution hints:   A( c)   B( m, c)   .X. ( m, c)   .* ( c)

Proof of Theorem scmatscm

Dummy variables i j k x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatscm.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
2		scmatscm.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
3		scmatscm.b	. . . 4 |- B = ( Base ` A )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( 1r ` A ) = ( 1r ` A )
5		scmatscm.t	. . . 4 |- .* = ( .s ` A )
6		scmatscm.c	. . . 4 |- S = ( N ScMat R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatscmid 20312	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ C e. S ) -> E. c e. K C = ( c .* ( 1r ` A ) ) )
8	7	3expa 1265	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) -> E. c e. K C = ( c .* ( 1r ` A ) ) )
9		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( C = ( c .* ( 1r ` A ) ) -> ( C .X. m ) = ( ( c .* ( 1r ` A ) ) .X. m ) )
10		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> R e. Ring )
11	10	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> R e. Ring )
12		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
14	2	matring 20249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
15	3, 4	ringidcl 18568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. Ring -> ( 1r ` A ) e. B )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 1r ` A ) e. B )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) -> ( 1r ` A ) e. B )
18	17	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) -> ( ( 1r ` A ) e. B /\ c e. K ) )
19	18	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) -> ( c e. K /\ ( 1r ` A ) e. B ) )
20	1, 2, 3, 5	matvscl 20237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( c e. K /\ ( 1r ` A ) e. B ) ) -> ( c .* ( 1r ` A ) ) e. B )
21	13, 19, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) -> ( c .* ( 1r ` A ) ) e. B )
22	21	anim1i 592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) -> ( ( c .* ( 1r ` A ) ) e. B /\ m e. B ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( c .* ( 1r ` A ) ) e. B /\ m e. B ) )
24		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i e. N /\ j e. N ) )
25		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
26		scmatscm.m	. . . . . . . . . . . 12 |- .X. = ( .r ` A )
27	2, 3, 25, 26	matmulcell 20251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( c .* ( 1r ` A ) ) e. B /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( ( c .* ( 1r ` A ) ) .X. m ) j ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i ( c .* ( 1r ` A ) ) k ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) ) ) )
28	11, 23, 24, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( ( c .* ( 1r ` A ) ) .X. m ) j ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i ( c .* ( 1r ` A ) ) k ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) ) ) )
29	12	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ c e. K ) )
30		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ c e. K ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ c e. K ) )
31	29, 30	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ c e. K ) )
32	31	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ c e. K ) )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
34	2, 1, 5, 33	matsc 20256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ c e. K ) -> ( c .* ( 1r ` A ) ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , c , ( 0g ` R ) ) ) )
35	32, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( c .* ( 1r ` A ) ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , c , ( 0g ` R ) ) ) )
36		eqeq12 2635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = i /\ y = k ) -> ( x = y <-> i = k ) )
37	36	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = i /\ y = k ) -> if ( x = y , c , ( 0g ` R ) ) = if ( i = k , c , ( 0g ` R ) ) )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) /\ ( x = i /\ y = k ) ) -> if ( x = y , c , ( 0g ` R ) ) = if ( i = k , c , ( 0g ` R ) ) )
39		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. N /\ j e. N ) -> i e. N )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> i e. N )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> i e. N )
42		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> k e. N )
43		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- c e. _V
44		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0g ` R ) e. _V
45	43, 44	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- if ( i = k , c , ( 0g ` R ) ) e. _V
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> if ( i = k , c , ( 0g ` R ) ) e. _V )
47	35, 38, 41, 42, 46	ovmpt2d 6788	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( i ( c .* ( 1r ` A ) ) k ) = if ( i = k , c , ( 0g ` R ) ) )
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( ( i ( c .* ( 1r ` A ) ) k ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) = ( if ( i = k , c , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) )
49	48	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( k e. N |-> ( ( i ( c .* ( 1r ` A ) ) k ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) ) = ( k e. N |-> ( if ( i = k , c , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) ) )
50	49	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i ( c .* ( 1r ` A ) ) k ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( if ( i = k , c , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) ) ) )
51		ovif 6737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( if ( i = k , c , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) = if ( i = k , ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) , ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) )
52		simp-6r 811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> R e. Ring )
53		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> j e. N )
54		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) -> m e. B )
55	54	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> m e. B )
56	2, 1, 3, 42, 53, 55	matecld 20232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( k m j ) e. K )
57	1, 25, 33	ringlz 18587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ ( k m j ) e. K ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) = ( 0g ` R ) )
58	52, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) = ( 0g ` R ) )
59	58	ifeq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> if ( i = k , ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) , ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) ) = if ( i = k , ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) , ( 0g ` R ) ) )
60	51, 59	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( if ( i = k , c , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) = if ( i = k , ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) , ( 0g ` R ) ) )
61	60	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( k e. N |-> ( if ( i = k , c , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) ) = ( k e. N |-> if ( i = k , ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) , ( 0g ` R ) ) ) )
62	61	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( if ( i = k , c , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. N |-> if ( i = k , ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
63		ringmnd 18556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> R e. Mnd )
65	64	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> R e. Mnd )
66		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> N e. Fin )
67	66	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> N e. Fin )
68		equcom 1945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k <-> k = i )
69		ifbi 4107	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = k <-> k = i ) -> if ( i = k , ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) , ( 0g ` R ) ) = if ( k = i , ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) , ( 0g ` R ) ) )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( i = k , ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) , ( 0g ` R ) ) = if ( k = i , ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) , ( 0g ` R ) )
71	70	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. N |-> if ( i = k , ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( k e. N |-> if ( k = i , ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) , ( 0g ` R ) ) )
72	1	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. K <-> c e. ( Base ` R ) )
73	72	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. K -> c e. ( Base ` R ) )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) -> c e. ( Base ` R ) )
75	74	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> c e. ( Base ` R ) )
76		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
77	2, 76, 3, 42, 53, 55	matecld 20232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( k m j ) e. ( Base ` R ) )
78	76, 25	ringcl 18561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) /\ ( k m j ) e. ( Base ` R ) ) -> ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) e. ( Base ` R ) )
79	52, 75, 77, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) e. ( Base ` R ) )
80	79	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> A. k e. N ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) e. ( Base ` R ) )
81	33, 65, 67, 40, 71, 80	gsummpt1n0 18364	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> if ( i = k , ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = [_ i / k ]_ ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) )
82	50, 62, 81	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i ( c .* ( 1r ` A ) ) k ) ( .r ` R ) ( k m j ) ) ) ) = [_ i / k ]_ ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) )
83		csbov2g 6691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. N -> [_ i / k ]_ ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) = ( c ( .r ` R ) [_ i / k ]_ ( k m j ) ) )
84		csbov1g 6690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. N -> [_ i / k ]_ ( k m j ) = ( [_ i / k ]_ k m j ) )
85		csbvarg 4003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. N -> [_ i / k ]_ k = i )
86	85	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. N -> ( [_ i / k ]_ k m j ) = ( i m j ) )
87	84, 86	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. N -> [_ i / k ]_ ( k m j ) = ( i m j ) )
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. N -> ( c ( .r ` R ) [_ i / k ]_ ( k m j ) ) = ( c ( .r ` R ) ( i m j ) ) )
89	83, 88	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. N -> [_ i / k ]_ ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) = ( c ( .r ` R ) ( i m j ) ) )
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. N /\ j e. N ) -> [_ i / k ]_ ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) = ( c ( .r ` R ) ( i m j ) ) )
91	90	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> [_ i / k ]_ ( c ( .r ` R ) ( k m j ) ) = ( c ( .r ` R ) ( i m j ) ) )
92	28, 82, 91	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( ( c .* ( 1r ` A ) ) .X. m ) j ) = ( c ( .r ` R ) ( i m j ) ) )
93		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) -> c e. K )
94	93	anim1i 592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) -> ( c e. K /\ m e. B ) )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( c e. K /\ m e. B ) )
96	2, 3, 1, 5, 25	matvscacell 20242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( c e. K /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( c .* m ) j ) = ( c ( .r ` R ) ( i m j ) ) )
97	11, 95, 24, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( c .* m ) j ) = ( c ( .r ` R ) ( i m j ) ) )
98	92, 97	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( ( c .* ( 1r ` A ) ) .X. m ) j ) = ( i ( c .* m ) j ) )
99	98	ralrimivva 2971	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) -> A. i e. N A. j e. N ( i ( ( c .* ( 1r ` A ) ) .X. m ) j ) = ( i ( c .* m ) j ) )
100	14	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) -> A e. Ring )
101	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) -> ( c .* ( 1r ` A ) ) e. B )
102	3, 26	ringcl 18561	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Ring /\ ( c .* ( 1r ` A ) ) e. B /\ m e. B ) -> ( ( c .* ( 1r ` A ) ) .X. m ) e. B )
103	100, 101, 54, 102	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) -> ( ( c .* ( 1r ` A ) ) .X. m ) e. B )
104	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
105	1, 2, 3, 5	matvscl 20237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( c e. K /\ m e. B ) ) -> ( c .* m ) e. B )
106	104, 94, 105	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) -> ( c .* m ) e. B )
107	2, 3	eqmat 20230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( c .* ( 1r ` A ) ) .X. m ) e. B /\ ( c .* m ) e. B ) -> ( ( ( c .* ( 1r ` A ) ) .X. m ) = ( c .* m ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i ( ( c .* ( 1r ` A ) ) .X. m ) j ) = ( i ( c .* m ) j ) ) )
108	103, 106, 107	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) -> ( ( ( c .* ( 1r ` A ) ) .X. m ) = ( c .* m ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i ( ( c .* ( 1r ` A ) ) .X. m ) j ) = ( i ( c .* m ) j ) ) )
109	99, 108	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) -> ( ( c .* ( 1r ` A ) ) .X. m ) = ( c .* m ) )
110	9, 109	sylan9eqr 2678	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) /\ C = ( c .* ( 1r ` A ) ) ) -> ( C .X. m ) = ( c .* m ) )
111	110	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) /\ m e. B ) -> ( C = ( c .* ( 1r ` A ) ) -> ( C .X. m ) = ( c .* m ) ) )
112	111	ralrimdva 2969	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) /\ c e. K ) -> ( C = ( c .* ( 1r ` A ) ) -> A. m e. B ( C .X. m ) = ( c .* m ) ) )
113	112	reximdva 3017	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) -> ( E. c e. K C = ( c .* ( 1r ` A ) ) -> E. c e. K A. m e. B ( C .X. m ) = ( c .* m ) ) )
114	8, 113	mpd 15	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ C e. S ) -> E. c e. K A. m e. B ( C .X. m ) = ( c .* m ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   1rcur 18501   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213   ScMat cscmat 20295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-scmat 20297

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