Theorem smflimlem5 40983

Description: Lemma for the proof that the limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves that the preimages of right-closed, unbounded-below intervals are in the subspace sigma-algebra induced by D. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimlem5.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
smflimlem5.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smflimlem5.3	|- ( ph -> S e. SAlg )
smflimlem5.4	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smflimlem5.5	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
smflimlem5.6	|- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
smflimlem5.7	|- ( ph -> A e. RR )
smflimlem5.8	|- P = ( m e. Z , k e. NN |-> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
smflimlem5.9	|- H = ( m e. Z , k e. NN |-> ( C ` ( m P k ) ) )
smflimlem5.10	|- I = |^|_ k e. NN U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k )
smflimlem5.11	|- ( ( ph /\ r e. ran P ) -> ( C ` r ) e. r )

Assertion

Ref	Expression
smflimlem5	|- ( ph -> { x e. D | ( G ` x ) <_ A } e. ( S ↾t D ) )

Distinct variable groups:   x, k, A, m, n   A, s, k, m, x   C, k, m, r   C, s   D, k, m, n, x   D, r, x   k, F, m, n, x   F, s   k, G, m, n   k, H, m, n   H, s   k, I, m, r, x   m, M   P, k, m, r   P, s   S, k, m, n   S, s   k, Z, m, n, x   ph, k, m, n, x   ph, r

Allowed substitution hints:   ph( s)   A( r)   C( x, n)   D( s)   P( x, n)   S( x, r)   F( r)   G( x, s, r)   H( x, r)   I( n, s)   M( x, k, n, s, r)   Z( s, r)

Proof of Theorem smflimlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimlem5.2	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		smflimlem5.3	. . . 4 |- ( ph -> S e. SAlg )
3		smflimlem5.4	. . . 4 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
4		smflimlem5.5	. . . 4 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
5		smflimlem5.6	. . . 4 |- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
6		smflimlem5.7	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
7		smflimlem5.8	. . . 4 |- P = ( m e. Z , k e. NN |-> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
8		smflimlem5.9	. . . 4 |- H = ( m e. Z , k e. NN |-> ( C ` ( m P k ) ) )
9		smflimlem5.10	. . . 4 |- I = |^|_ k e. NN U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k )
10		smflimlem5.11	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. ran P ) -> ( C ` r ) e. r )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	smflimlem2 40980	. . 3 |- ( ph -> { x e. D | ( G ` x ) <_ A } C_ ( D i^i I ) )
12		smflimlem5.1	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
13	12, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	smflimlem4 40982	. . 3 |- ( ph -> ( D i^i I ) C_ { x e. D | ( G ` x ) <_ A } )
14	11, 13	eqssd 3620	. 2 |- ( ph -> { x e. D | ( G ` x ) <_ A } = ( D i^i I ) )
15	1, 2, 4, 7, 8, 9, 10	smflimlem1 40979	. 2 |- ( ph -> ( D i^i I ) e. ( S ↾t D ) )
16	14, 15	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> { x e. D | ( G ` x ) <_ A } e. ( S ↾t D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   i^i cin 3573   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215   ↾_t crest 16081  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-rest 16083  df-salg 40529  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smflimlem6  40984