Theorem smflimsuplem5 41030

Description: H converges to the superior limit of F. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem5.a	|- F/ n ph
smflimsuplem5.b	|- F/ m ph
smflimsuplem5.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smflimsuplem5.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smflimsuplem5.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smflimsuplem5.f	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smflimsuplem5.e	|- E = ( n e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
smflimsuplem5.h	|- H = ( n e. Z |-> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
smflimsuplem5.r	|- ( ph -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) e. RR )
smflimsuplem5.n	|- ( ph -> N e. Z )
smflimsuplem5.x	|- ( ph -> X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` N ) dom ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem5	|- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> ( ( H ` n ) ` X ) ) ~~> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` N ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )

Distinct variable groups:   n, F, x   m, M   m, N, n   m, X, n   m, Z, n, x

Allowed substitution hints:   ph( x, m, n)   S( x, m, n)   E( x, m, n)   F( m)   H( x, m, n)   M( x, n)   N( x)   X( x)

Proof of Theorem smflimsuplem5

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsuplem5.a	. . 3 |- F/ n ph
2		smflimsuplem5.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. Z )
3		smflimsuplem5.z	. . . . . . . . . . . 12 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	3	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. Z <-> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. Z -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		uzss 11708	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( N e. Z -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
8	7, 3	syl6sseqr 3652	. . . . . . . 8 |- ( N e. Z -> ( ZZ>= ` N ) C_ Z )
9	2, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ZZ>= ` N ) C_ Z )
10	9	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. Z )
11		smflimsuplem5.e	. . . . . . . . . 10 |- E = ( n e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
12		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x Z
13		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR }
14	12, 13	nfmpt 4746	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( n e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
15	11, 14	nfcxfr 2762	. . . . . . . . 9 |- F/_ x E
16		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x n
17	15, 16	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( E ` n )
18		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( E ` n ) e. _V
19	17, 18	mptexf 39444	. . . . . . 7 |- ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) e. _V
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) e. _V )
21		smflimsuplem5.h	. . . . . . 7 |- H = ( n e. Z |-> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
22	21	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( n e. Z /\ ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) e. _V ) -> ( H ` n ) = ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
23	10, 20, 22	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( H ` n ) = ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
24	23	fveq1d 6193	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( H ` n ) ` X ) = ( ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) ` X ) )
25		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y ( E ` n )
26		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < )
27		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` y ) )
29	28	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) )
30	29	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) )
31	30	supeq1d 8352	. . . . . 6 |- ( x = y -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) )
32	17, 25, 26, 27, 31	cbvmptf 4748	. . . . 5 |- ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) = ( y e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) )
33		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( y = X /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> y = X )
34	33	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( y = X /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` m ) ` y ) = ( ( F ` m ) ` X ) )
35	34	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) )
36	35	rneqd 5353	. . . . . 6 |- ( y = X -> ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) = ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) )
37	36	supeq1d 8352	. . . . 5 |- ( y = X -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) )
38	37	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( y = X -> ( sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) e. RR <-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) e. RR ) )
39		uzss 11708	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ZZ>= ` n ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
40		iinss1 4533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ZZ>= ` n ) C_ ( ZZ>= ` N ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` N ) dom ( F ` m ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` N ) dom ( F ` m ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` N ) dom ( F ` m ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
43		smflimsuplem5.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` N ) dom ( F ` m ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` N ) dom ( F ` m ) )
45	42, 44	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
46		smflimsuplem5.b	. . . . . . . . . . 11 |- F/ m ph
47		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ m n e. ( ZZ>= ` N )
48	46, 47	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ m ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` n )
50		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
51	39	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. ( ZZ>= ` N ) )
52	51	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. ( ZZ>= ` N ) )
53		smflimsuplem5.s	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. SAlg )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> S e. SAlg )
55		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ph )
56	9	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> m e. Z )
57		smflimsuplem5.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
58	57	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. (SMblFn ` S ) )
59	55, 56, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` m ) e. (SMblFn ` S ) )
60		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( F ` m ) = dom ( F ` m )
61	54, 59, 60	smff 40941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
62		eliin 4525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` N ) dom ( F ` m ) -> ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` N ) dom ( F ` m ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` N ) X e. dom ( F ` m ) ) )
63	43, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` N ) dom ( F ` m ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` N ) X e. dom ( F ` m ) ) )
64	43, 63	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. m e. ( ZZ>= ` N ) X e. dom ( F ` m ) )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` N ) X e. dom ( F ` m ) )
66		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> m e. ( ZZ>= ` N ) )
67		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. m e. ( ZZ>= ` N ) X e. dom ( F ` m ) /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> X e. dom ( F ` m ) )
68	65, 66, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> X e. dom ( F ` m ) )
69	61, 68	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( F ` m ) ` X ) e. RR )
70	50, 52, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` m ) ` X ) e. RR )
71		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> n e. ZZ )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. ZZ )
73		smflimsuplem5.m	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. ZZ )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> M e. ZZ )
75		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` m ) ` X ) e. _V
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. Z ) -> ( ( F ` m ) ` X ) e. _V )
77	48, 72, 74, 49, 3, 70, 76	limsupequzmpt 39961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )
78		smflimsuplem5.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) e. RR )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) e. RR )
80	77, 79	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) e. RR )
81	80	renepnfd 10090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) =/= +oo )
82	48, 49, 70, 81	limsupubuzmpt 39951	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> E. y e. RR A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` m ) ` X ) <_ y )
83		uzid2 39630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
84		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` n ) -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
87	48, 86, 70	supxrre3rnmpt 39656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) e. RR <-> E. y e. RR A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` m ) ` X ) <_ y ) )
88	82, 87	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) e. RR )
89	38, 45, 88	elrabd 3365	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> X e. { y e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) e. RR } )
90		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y = x /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> y = x )
91	90	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y = x /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` m ) ` y ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
92	91	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) )
93	92	rneqd 5353	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) = ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) )
94	93	supeq1d 8352	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) )
95	94	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) e. RR <-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR ) )
96	95	cbvrabv 3199	. . . . . . 7 |- { y e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) e. RR } = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR }
97	89, 96	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> X e. { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
98		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR }
99		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F ` m ) e. _V
100	99	dmex 7099	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( F ` m ) e. _V
101	100	rgenw 2924	. . . . . . . . . . 11 |- A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
103	85, 102	iinexd 39318	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
104	103	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
105	98, 104	rabexd 4814	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } e. _V )
106	11	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 |- ( ( n e. Z /\ { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } e. _V ) -> ( E ` n ) = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
107	10, 105, 106	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( E ` n ) = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
108	97, 107	eleqtrrd 2704	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> X e. ( E ` n ) )
109	88	elexd 3214	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) e. _V )
110	32, 37, 108, 109	fvmptd3 39447	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) ` X ) = sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) )
111	24, 110	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( H ` n ) ` X ) = sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) )
112	1, 111	mpteq2da 4743	. 2 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> ( ( H ` n ) ` X ) ) = ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) ) )
113	3	eluzelz2 39627	. . . 4 |- ( N e. Z -> N e. ZZ )
114	2, 113	syl 17	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
115		eqid 2622	. . 3 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
116	75	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( F ` m ) ` X ) e. _V )
117	75	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( ( F ` m ) ` X ) e. _V )
118	46, 114, 73, 115, 3, 116, 117	limsupequzmpt 39961	. . . 4 |- ( ph -> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` N ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )
119	118, 78	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` N ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) e. RR )
120	46, 114, 115, 69, 119	supcnvlimsupmpt 39973	. 2 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) ) ~~> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` N ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )
121	112, 120	eqbrtrd 4675	1 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> ( ( H ` n ) ` X ) ) ~~> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` N ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   limsupclsp 14201   ~~> cli 14215  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smflimsuplem6  41031  smflimsuplem8  41033