Theorem smflimsuplem4 41029

Description: If H converges, the limsup of F is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem4.1	|- F/ n ph
smflimsuplem4.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smflimsuplem4.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smflimsuplem4.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smflimsuplem4.f	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smflimsuplem4.e	|- E = ( n e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
smflimsuplem4.h	|- H = ( n e. Z |-> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
smflimsuplem4.n	|- ( ph -> N e. Z )
smflimsuplem4.i	|- ( ph -> x e. |^|_ n e. ( ZZ>= ` N ) dom ( H ` n ) )
smflimsuplem4.c	|- ( ph -> ( n e. Z |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem4	|- ( ph -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )

Distinct variable groups:   n, E, x   m, F, n, x   n, H   m, M   m, N, n   m, Z, n   ph, m

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   S( x, m, n)   E( m)   H( x, m)   M( x, n)   N( x)   Z( x)

Proof of Theorem smflimsuplem4

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . 4 |- F/ m ph
2		smflimsuplem4.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		smflimsuplem4.z	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4		smflimsuplem4.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. Z )
5	3, 4	eluzelz2d 39640	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
6		eqid 2622	. . . 4 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
7		fvexd 6203	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. _V )
8		fvexd 6203	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. _V )
9	1, 2, 5, 3, 6, 7, 8	limsupequzmpt 39961	. . 3 |- ( ph -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` N ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
10		smflimsuplem4.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. SAlg )
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> S e. SAlg )
12	3, 4	uzssd2 39644	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ZZ>= ` N ) C_ Z )
13	12	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> m e. Z )
14		smflimsuplem4.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
15	14	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. (SMblFn ` S ) )
16	13, 15	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` m ) e. (SMblFn ` S ) )
17		eqid 2622	. . . . . . 7 |- dom ( F ` m ) = dom ( F ` m )
18	11, 16, 17	smff 40941	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
19		smflimsuplem4.e	. . . . . . . 8 |- E = ( n e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
20		smflimsuplem4.h	. . . . . . . 8 |- H = ( n e. Z |-> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
21	3, 19, 20, 13	smflimsuplem1 41026	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> dom ( H ` m ) C_ dom ( F ` m ) )
22		smflimsuplem4.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> x e. |^|_ n e. ( ZZ>= ` N ) dom ( H ` n ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> x e. |^|_ n e. ( ZZ>= ` N ) dom ( H ` n ) )
24		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> m e. ( ZZ>= ` N ) )
25		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( H ` n ) = ( H ` m ) )
26	25	dmeqd 5326	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> dom ( H ` n ) = dom ( H ` m ) )
27	26	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( x e. dom ( H ` n ) <-> x e. dom ( H ` m ) ) )
28	23, 24, 27	eliind 39240	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> x e. dom ( H ` m ) )
29	21, 28	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> x e. dom ( F ` m ) )
30	18, 29	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. RR )
31	30	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. RR* )
32	1, 5, 6, 31	limsupvaluzmpt 39949	. . 3 |- ( ph -> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` N ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = inf ( ran ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
33	9, 32	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = inf ( ran ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
34		smflimsuplem4.1	. . 3 |- F/ n ph
35	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ Z )
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` N ) )
37	35, 36	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> n e. Z )
38	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> H = ( n e. Z |-> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) ) )
39		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E ` n ) e. _V
40	39	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) e. _V )
42	38, 41	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( H ` n ) = ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
43	37, 42	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( H ` n ) = ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
44	43	dmeqd 5326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> dom ( H ` n ) = dom ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
45		xrltso 11974	. . . . . . . . . . . . 13 |- < Or RR*
46	45	supex 8369	. . . . . . . . . . . 12 |- sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. _V
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) = ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) )
48	46, 47	dmmpti 6023	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) = ( E ` n )
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> dom ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) = ( E ` n ) )
50	44, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> dom ( H ` n ) = ( E ` n ) )
51	34, 50	iineq2d 4541	. . . . . . . 8 |- ( ph -> |^|_ n e. ( ZZ>= ` N ) dom ( H ` n ) = |^|_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( E ` n ) )
52	22, 51	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ph -> x e. |^|_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( E ` n ) )
53	52	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> x e. |^|_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( E ` n ) )
54		eliinid 39294	. . . . . 6 |- ( ( x e. |^|_ n e. ( ZZ>= ` N ) ( E ` n ) /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> x e. ( E ` n ) )
55	53, 36, 54	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> x e. ( E ` n ) )
56	46	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ x e. ( E ` n ) ) -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. _V )
57	43, 56	fvmpt2d 6293	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ x e. ( E ` n ) ) -> ( ( H ` n ) ` x ) = sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) )
58	55, 57	mpdan 702	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( H ` n ) ` x ) = sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) )
59		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR }
60	3	eluzelz2 39627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
61		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` n )
62	60, 61	uzn0d 39652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Z -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
63		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ` m ) e. _V
64	63	dmex 7099	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( F ` m ) e. _V
65	64	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Z -> A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
67	62, 66	iinexd 39318	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. Z -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
69	59, 68	rabexd 4814	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } e. _V )
70	37, 69	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } e. _V )
71	19	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. Z /\ { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } e. _V ) -> ( E ` n ) = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
72	37, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( E ` n ) = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
73	55, 72	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> x e. { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
74		rabid 3116	. . . . . 6 |- ( x e. { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } <-> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR ) )
75	73, 74	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR ) )
76	75	simprd 479	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR )
77	58, 76	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( H ` n ) ` x ) e. RR )
78	34, 58	mpteq2da 4743	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) = ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
79		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ k ph
80		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` k ) )
81	80	mpteq1d 4738	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) )
82	81	rneqd 5353	. . . . . 6 |- ( n = k -> ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) )
83	82	supeq1d 8352	. . . . 5 |- ( n = k -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) )
84		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ m ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) )
85		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` N ) -> n e. ZZ )
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> n e. ZZ )
87		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> k = ( n + 1 ) )
88	86	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> ( n + 1 ) e. ZZ )
89	87, 88	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> k e. ZZ )
90	86	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> n e. RR )
91	89	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> k e. RR )
92	90	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> n < ( n + 1 ) )
93	87	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> ( n + 1 ) = k )
94	92, 93	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> n < k )
95	90, 91, 94	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> n <_ k )
96	61, 86, 89, 95	eluzd 39635	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` n ) )
97		uzss 11708	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` n ) )
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` n ) )
99		fvexd 6203	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. _V )
100	84, 98, 99	rnmptss2 39472	. . . . . . 7 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) C_ ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) )
101	100	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) C_ ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) )
102		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ m ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) )
103		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) )
104		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
105	37, 104	syldanl 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
106	6	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` N ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. ( ZZ>= ` N ) )
107	106	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. ( ZZ>= ` N ) )
108	105, 107, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. RR )
109	102, 103, 108	rnmptssd 39385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) C_ RR )
110		ressxr 10083	. . . . . . . . 9 |- RR C_ RR*
111	110	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> RR C_ RR* )
112	109, 111	sstrd 3613	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) C_ RR* )
113	112	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) C_ RR* )
114		supxrss 12162	. . . . . 6 |- ( ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) C_ ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) /\ ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) C_ RR* ) -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) <_ sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) )
115	101, 113, 114	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) /\ k = ( n + 1 ) ) -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) <_ sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) )
116		smflimsuplem4.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) e. dom ~~> )
117	3	fvexi 6202	. . . . . . . . 9 |- Z e. _V
118	117	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. _V )
119		fvexd 6203	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( H ` n ) ` x ) e. _V )
120		fvexd 6203	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` N ) e. _V )
121	34, 36	ssdf 39247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
122		fvexd 6203	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( H ` n ) ` x ) e. _V )
123		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( H ` n ) ` x ) = ( ( H ` n ) ` x ) )
124	34, 5, 6, 118, 12, 119, 120, 121, 122, 123	climeldmeqmpt 39900	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( n e. Z |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) e. dom ~~> <-> ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) e. dom ~~> ) )
125	116, 124	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) e. dom ~~> )
126	78, 125	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) e. dom ~~> )
127	34, 79, 5, 6, 76, 83, 115, 126	climinf2mpt 39946	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) ~~> inf ( ran ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
128	78, 127	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ph -> ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) ~~> inf ( ran ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) )
129	34, 5, 6, 77, 128	climreclmpt 39916	. 2 |- ( ph -> inf ( ran ( n e. ( ZZ>= ` N ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) , RR* , < ) e. RR )
130	33, 129	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   limsupclsp 14201   ~~> cli 14215  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smflimsuplem7  41032