Theorem smflimsuplem8 41033

Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem8.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smflimsuplem8.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smflimsuplem8.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smflimsuplem8.f	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smflimsuplem8.d	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR }
smflimsuplem8.g	|- G = ( x e. D |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
smflimsuplem8.e	|- E = ( k e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` k ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
smflimsuplem8.h	|- H = ( k e. Z |-> ( x e. ( E ` k ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem8	|- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Distinct variable groups:   x, k   D, k, m, n   k, E, x   k, F, m, n, x   k, H, m, n, x   m, M   S, k, n   k, Z, m, n, x   ph, k, m, n, x

Allowed substitution hints:   D( x)   S( x, m)   E( m, n)   G( x, k, m, n)   M( x, k, n)

Proof of Theorem smflimsuplem8

Dummy variables w z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsuplem8.g	. . . 4 |- G = ( x e. D |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> G = ( x e. D |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) )
3		smflimsuplem8.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		smflimsuplem8.z	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5		smflimsuplem8.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. SAlg )
6		smflimsuplem8.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
7		smflimsuplem8.d	. . . . 5 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR }
8		smflimsuplem8.e	. . . . 5 |- E = ( k e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` k ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
9		smflimsuplem8.h	. . . . 5 |- H = ( k e. Z |-> ( x e. ( E ` k ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	smflimsuplem7 41032	. . . 4 |- ( ph -> D = { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } )
11		rabidim1 3117	. . . . . . . 8 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
12		eliun 4524	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) <-> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
13	11, 12	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
14	13, 7	eleq2s 2719	. . . . . 6 |- ( x e. D -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
15	14	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
16		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ n ( ph /\ x e. D )
17		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ n ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) )
18		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
19		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ m ( ph /\ x e. D )
20		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ m n e. Z
21		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ m x
22		nfii1 4551	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ m |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
23	21, 22	nfel 2777	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ m x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
24	19, 20, 23	nf3an 1831	. . . . . . . . . . 11 |- F/ m ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
25	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> M e. ZZ )
26	25	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> M e. ZZ )
27	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> S e. SAlg )
28	27	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> S e. SAlg )
29	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
30	29	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
31		rabidim2 39284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
32	31, 7	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. D -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
33		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m = y -> ( F ` m ) = ( F ` y ) )
34	33	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = y -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` y ) ` x ) )
35	34	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( y e. Z |-> ( ( F ` y ) ` x ) )
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = y -> ( F ` z ) = ( F ` y ) )
37	36	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = y -> ( ( F ` z ) ` x ) = ( ( F ` y ) ` x ) )
38	37	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. Z |-> ( ( F ` z ) ` x ) ) = ( y e. Z |-> ( ( F ` y ) ` x ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = w -> ( F ` z ) = ( F ` w ) )
40	39	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( ( F ` z ) ` x ) = ( ( F ` w ) ` x ) )
41	40	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. Z |-> ( ( F ` z ) ` x ) ) = ( w e. Z |-> ( ( F ` w ) ` x ) )
42	35, 38, 41	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( w e. Z |-> ( ( F ` w ) ` x ) )
43	42	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( w e. Z |-> ( ( F ` w ) ` x ) ) )
44	43	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR <-> ( limsup ` ( w e. Z |-> ( ( F ` w ) ` x ) ) ) e. RR )
45	32, 44	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. D -> ( limsup ` ( w e. Z |-> ( ( F ` w ) ` x ) ) ) e. RR )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( limsup ` ( w e. Z |-> ( ( F ` w ) ` x ) ) ) e. RR )
47	46	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( limsup ` ( w e. Z |-> ( ( F ` w ) ` x ) ) ) e. RR )
48	47, 44	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
49		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> n e. Z )
50		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
51	18, 24, 26, 4, 28, 30, 8, 9, 48, 49, 50	smflimsuplem5 41030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) ~~> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
52		fvexd 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( ZZ>= ` n ) e. _V )
53	4	fvexi 6202	. . . . . . . . . . . 12 |- Z e. _V
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> Z e. _V )
55	4, 49	eluzelz2d 39640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> n e. ZZ )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` n )
57	55	uzidd 39631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
58	57	uzssd 39634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( ZZ>= ` n ) C_ ( ZZ>= ` n ) )
59	4, 49	uzssd2 39644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( ZZ>= ` n ) C_ Z )
60		fvexd 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( H ` k ) ` x ) e. _V )
61	18, 52, 54, 55, 56, 58, 59, 60	climeqmpt 39929	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) ~~> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) <-> ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) ~~> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) )
62	51, 61	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) ~~> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
63		simp1l 1085	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ph )
64		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ m ph
65	64, 20	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ m ( ph /\ n e. Z )
66	4	eluzelz2 39627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. ZZ )
68	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> M e. ZZ )
69		fvexd 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. _V )
70		fvexd 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. Z ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. _V )
71	65, 67, 68, 56, 4, 69, 70	limsupequzmpt 39961	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
72	63, 49, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
73	62, 72	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) ~~> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
74	73	climfvd 39930	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) ) )
75	74	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( n e. Z -> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) ) ) ) )
76	16, 17, 75	rexlimd 3026	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) ) ) )
77	15, 76	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) ) )
78	10, 77	mpteq12dva 4732	. . 3 |- ( ph -> ( x e. D |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) = ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } |-> ( ~~> ` ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) ) ) )
79	2, 78	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> G = ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } |-> ( ~~> ` ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) ) ) )
80	3, 4, 5, 6, 8, 9	smflimsuplem3 41028	. 2 |- ( ph -> ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } |-> ( ~~> ` ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) ) ) e. (SMblFn ` S ) )
81	79, 80	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   limsupclsp 14201   ~~> cli 14215  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-salg 40529  df-salgen 40533  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smflimsup  41034