Theorem sylow2blem3 18037

Description: Sylow's second theorem. Putting together the results of sylow2a 18034 and the orbit-stabilizer theorem to show that P does not divide the set of all fixed points under the group action, we get that there is a fixed point of the group action, so that there is some g e. X with h g K = g K for all h e. H. This implies that invg ( g ) h g e. K, so h is in the conjugated subgroup g K invg ( g ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow2b.x	|- X = ( Base ` G )
sylow2b.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow2b.h	|- ( ph -> H e. (SubGrp ` G ) )
sylow2b.k	|- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
sylow2b.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow2b.r	|- .~ = ( G ~QG K )
sylow2b.m	|- .x. = ( x e. H , y e. ( X /. .~ ) |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
sylow2blem3.hp	|- ( ph -> P pGrp ( G ↾s H ) )
sylow2blem3.kn	|- ( ph -> ( # ` K ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) )
sylow2blem3.d	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
sylow2blem3	|- ( ph -> E. g e. X H C_ ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) )

Distinct variable groups:   x, g, y, z, G   g, K, x, y, z   .x. , g, x, y, z   .+ , g, x, y, z   .~ , g, x, y, z   ph, g, z   x, .- , z   g, H, x, y, z   g, X, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   P( x, y, z, g)   .- ( y, g)

Proof of Theorem sylow2blem3

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow2blem3.hp	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P pGrp ( G ↾s H ) )
2		pgpprm 18008	. . . . . . . . 9 |- ( P pGrp ( G ↾s H ) -> P e. Prime )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. Prime )
4		sylow2b.h	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. (SubGrp ` G ) )
5		subgrcl 17599	. . . . . . . . . . 11 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G e. Grp )
7		sylow2b.x	. . . . . . . . . . 11 |- X = ( Base ` G )
8	7	grpbn0 17451	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Grp -> X =/= (/) )
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X =/= (/) )
10		sylow2b.xf	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. Fin )
11		hashnncl 13157	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. Fin -> ( ( # ` X ) e. NN <-> X =/= (/) ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( # ` X ) e. NN <-> X =/= (/) ) )
13	9, 12	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` X ) e. NN )
14		pcndvds2 15572	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Prime /\ ( # ` X ) e. NN ) -> -. P || ( ( # ` X ) / ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) )
15	3, 13, 14	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> -. P || ( ( # ` X ) / ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) )
16		sylow2b.r	. . . . . . . . . . 11 |- .~ = ( G ~QG K )
17		sylow2b.k	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
18	7, 16, 17, 10	lagsubg2 17655	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` X ) = ( ( # ` ( X /. .~ ) ) x. ( # ` K ) ) )
19	18	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( # ` X ) / ( # ` K ) ) = ( ( ( # ` ( X /. .~ ) ) x. ( # ` K ) ) / ( # ` K ) ) )
20		sylow2blem3.kn	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` K ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( # ` X ) / ( # ` K ) ) = ( ( # ` X ) / ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) )
22		pwfi 8261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. Fin <-> ~P X e. Fin )
23	10, 22	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ~P X e. Fin )
24	7, 16	eqger 17644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er X )
25	17, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> .~ Er X )
26	25	qsss 7808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X /. .~ ) C_ ~P X )
27		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ~P X e. Fin /\ ( X /. .~ ) C_ ~P X ) -> ( X /. .~ ) e. Fin )
28	23, 26, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X /. .~ ) e. Fin )
29		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X /. .~ ) e. Fin -> ( # ` ( X /. .~ ) ) e. NN0 )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( X /. .~ ) ) e. NN0 )
31	30	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` ( X /. .~ ) ) e. CC )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
33	32	subg0cl 17602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. K )
34	17, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. K )
35		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0g ` G ) e. K -> K =/= (/) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K =/= (/) )
37	7	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. (SubGrp ` G ) -> K C_ X )
38	17, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> K C_ X )
39		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. Fin /\ K C_ X ) -> K e. Fin )
40	10, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K e. Fin )
41		hashnncl 13157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. Fin -> ( ( # ` K ) e. NN <-> K =/= (/) ) )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( # ` K ) e. NN <-> K =/= (/) ) )
43	36, 42	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` K ) e. NN )
44	43	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` K ) e. CC )
45	43	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` K ) =/= 0 )
46	31, 44, 45	divcan4d 10807	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( # ` ( X /. .~ ) ) x. ( # ` K ) ) / ( # ` K ) ) = ( # ` ( X /. .~ ) ) )
47	19, 21, 46	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( # ` X ) / ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) = ( # ` ( X /. .~ ) ) )
48	47	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P || ( ( # ` X ) / ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) <-> P || ( # ` ( X /. .~ ) ) ) )
49	15, 48	mtbid 314	. . . . . 6 |- ( ph -> -. P || ( # ` ( X /. .~ ) ) )
50		prmz 15389	. . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
51	3, 50	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ZZ )
52	30	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` ( X /. .~ ) ) e. ZZ )
53		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } C_ ( X /. .~ )
54		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X /. .~ ) e. Fin /\ { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } C_ ( X /. .~ ) ) -> { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } e. Fin )
55	28, 53, 54	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } e. Fin )
56		hashcl 13147	. . . . . . . . 9 |- ( { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } e. Fin -> ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) e. NN0 )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) e. NN0 )
58	57	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) e. ZZ )
59		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` ( G ↾s H ) ) = ( Base ` ( G ↾s H ) )
60		sylow2b.a	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` G )
61		sylow2b.m	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( x e. H , y e. ( X /. .~ ) |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
62	7, 10, 4, 17, 60, 16, 61	sylow2blem2 18036	. . . . . . . 8 |- ( ph -> .x. e. ( ( G ↾s H ) GrpAct ( X /. .~ ) ) )
63		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( G ↾s H ) = ( G ↾s H )
64	63	subgbas 17598	. . . . . . . . . 10 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> H = ( Base ` ( G ↾s H ) ) )
65	4, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H = ( Base ` ( G ↾s H ) ) )
66	7	subgss 17595	. . . . . . . . . . 11 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> H C_ X )
67	4, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H C_ X )
68		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ H C_ X ) -> H e. Fin )
69	10, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H e. Fin )
70	65, 69	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Base ` ( G ↾s H ) ) e. Fin )
71		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } = { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z }
72		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { <. x , y >. | ( { x , y } C_ ( X /. .~ ) /\ E. g e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( g .x. x ) = y ) } = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ ( X /. .~ ) /\ E. g e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( g .x. x ) = y ) }
73	59, 62, 1, 70, 28, 71, 72	sylow2a 18034	. . . . . . 7 |- ( ph -> P || ( ( # ` ( X /. .~ ) ) - ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) ) )
74		dvdssub2 15023	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ZZ /\ ( # ` ( X /. .~ ) ) e. ZZ /\ ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) e. ZZ ) /\ P || ( ( # ` ( X /. .~ ) ) - ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) ) ) -> ( P || ( # ` ( X /. .~ ) ) <-> P || ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) ) )
75	51, 52, 58, 73, 74	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P || ( # ` ( X /. .~ ) ) <-> P || ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) ) )
76	49, 75	mtbid 314	. . . . 5 |- ( ph -> -. P || ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) )
77		hasheq0 13154	. . . . . . . 8 |- ( { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } e. Fin -> ( ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) = 0 <-> { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } = (/) ) )
78	55, 77	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) = 0 <-> { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } = (/) ) )
79		dvds0 14997	. . . . . . . . 9 |- ( P e. ZZ -> P || 0 )
80	51, 79	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P || 0 )
81		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) = 0 -> ( P || ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) <-> P || 0 ) )
82	80, 81	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) = 0 -> P || ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) ) )
83	78, 82	sylbird 250	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } = (/) -> P || ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) ) )
84	83	necon3bd 2808	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. P || ( # ` { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } ) -> { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } =/= (/) ) )
85	76, 84	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } =/= (/) )
86		rabn0 3958	. . . 4 |- ( { z e. ( X /. .~ ) | A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z } =/= (/) <-> E. z e. ( X /. .~ ) A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z )
87	85, 86	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> E. z e. ( X /. .~ ) A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z )
88	65	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( ph -> ( A. u e. H ( u .x. z ) = z <-> A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z ) )
89	88	rexbidv 3052	. . 3 |- ( ph -> ( E. z e. ( X /. .~ ) A. u e. H ( u .x. z ) = z <-> E. z e. ( X /. .~ ) A. u e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( u .x. z ) = z ) )
90	87, 89	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> E. z e. ( X /. .~ ) A. u e. H ( u .x. z ) = z )
91		vex 3203	. . . . 5 |- z e. _V
92	91	elqs 7799	. . . 4 |- ( z e. ( X /. .~ ) <-> E. g e. X z = [ g ] .~ )
93		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> z = [ g ] .~ )
94	93	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( u .x. z ) = ( u .x. [ g ] .~ ) )
95		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( u .x. z ) = z )
96		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ph )
97		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> u e. H )
98		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> g e. X )
99	7, 10, 4, 17, 60, 16, 61	sylow2blem1 18035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ u e. H /\ g e. X ) -> ( u .x. [ g ] .~ ) = [ ( u .+ g ) ] .~ )
100	96, 97, 98, 99	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( u .x. [ g ] .~ ) = [ ( u .+ g ) ] .~ )
101	94, 95, 100	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> z = [ ( u .+ g ) ] .~ )
102	93, 101	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> [ g ] .~ = [ ( u .+ g ) ] .~ )
103	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> .~ Er X )
104	103, 98	erth 7791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( g .~ ( u .+ g ) <-> [ g ] .~ = [ ( u .+ g ) ] .~ ) )
105	102, 104	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> g .~ ( u .+ g ) )
106	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> G e. Grp )
107	38	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> K C_ X )
108		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
109	7, 108, 60, 16	eqgval 17643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. Grp /\ K C_ X ) -> ( g .~ ( u .+ g ) <-> ( g e. X /\ ( u .+ g ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) e. K ) ) )
110	106, 107, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( g .~ ( u .+ g ) <-> ( g e. X /\ ( u .+ g ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) e. K ) ) )
111	105, 110	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( g e. X /\ ( u .+ g ) e. X /\ ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) e. K ) )
112	111	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) e. K )
113		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) -> ( g .+ x ) = ( g .+ ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) ) )
114	113	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) -> ( ( g .+ x ) .- g ) = ( ( g .+ ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) ) .- g ) )
115		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) = ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) )
116		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( g .+ ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) ) .- g ) e. _V
117	114, 115, 116	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) e. K -> ( ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) ` ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) ) = ( ( g .+ ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) ) .- g ) )
118	112, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) ` ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) ) = ( ( g .+ ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) ) .- g ) )
119	7, 60, 32, 108	grprinv 17469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. Grp /\ g e. X ) -> ( g .+ ( ( invg ` G ) ` g ) ) = ( 0g ` G ) )
120	106, 98, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( g .+ ( ( invg ` G ) ` g ) ) = ( 0g ` G ) )
121	120	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( ( g .+ ( ( invg ` G ) ` g ) ) .+ ( u .+ g ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( u .+ g ) ) )
122	7, 108	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. Grp /\ g e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` g ) e. X )
123	106, 98, 122	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( ( invg ` G ) ` g ) e. X )
124	67	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> H C_ X )
125	124, 97	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> u e. X )
126	7, 60	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X /\ g e. X ) -> ( u .+ g ) e. X )
127	106, 125, 98, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( u .+ g ) e. X )
128	7, 60	grpass 17431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. Grp /\ ( g e. X /\ ( ( invg ` G ) ` g ) e. X /\ ( u .+ g ) e. X ) ) -> ( ( g .+ ( ( invg ` G ) ` g ) ) .+ ( u .+ g ) ) = ( g .+ ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) ) )
129	106, 98, 123, 127, 128	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( ( g .+ ( ( invg ` G ) ` g ) ) .+ ( u .+ g ) ) = ( g .+ ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) ) )
130	7, 60, 32	grplid 17452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. Grp /\ ( u .+ g ) e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( u .+ g ) ) = ( u .+ g ) )
131	106, 127, 130	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( u .+ g ) ) = ( u .+ g ) )
132	121, 129, 131	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( g .+ ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) ) = ( u .+ g ) )
133	132	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( ( g .+ ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) ) .- g ) = ( ( u .+ g ) .- g ) )
134		sylow2blem3.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- .- = ( -g ` G )
135	7, 60, 134	grppncan 17506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X /\ g e. X ) -> ( ( u .+ g ) .- g ) = u )
136	106, 125, 98, 135	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( ( u .+ g ) .- g ) = u )
137	118, 133, 136	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) ` ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) ) = u )
138		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g .+ x ) .- g ) e. _V
139	138, 115	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) Fn K
140		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) Fn K /\ ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) e. K ) -> ( ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) ` ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) ) e. ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) )
141	139, 112, 140	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> ( ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) ` ( ( ( invg ` G ) ` g ) .+ ( u .+ g ) ) ) e. ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) )
142	137, 141	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ ( u e. H /\ ( u .x. z ) = z ) ) -> u e. ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) )
143	142	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ u e. H ) -> ( ( u .x. z ) = z -> u e. ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) ) )
144	143	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) -> ( A. u e. H ( u .x. z ) = z -> A. u e. H u e. ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) ) )
145	144	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) /\ A. u e. H ( u .x. z ) = z ) -> A. u e. H u e. ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) )
146	145	an32s 846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. u e. H ( u .x. z ) = z ) /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) -> A. u e. H u e. ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) )
147		dfss3 3592	. . . . . . . . 9 |- ( H C_ ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) <-> A. u e. H u e. ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) )
148	146, 147	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. u e. H ( u .x. z ) = z ) /\ ( g e. X /\ z = [ g ] .~ ) ) -> H C_ ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) )
149	148	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. u e. H ( u .x. z ) = z ) /\ g e. X ) -> ( z = [ g ] .~ -> H C_ ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) ) )
150	149	reximdva 3017	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. u e. H ( u .x. z ) = z ) -> ( E. g e. X z = [ g ] .~ -> E. g e. X H C_ ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) ) )
151	150	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. u e. H ( u .x. z ) = z -> ( E. g e. X z = [ g ] .~ -> E. g e. X H C_ ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) ) ) )
152	151	com23 86	. . . 4 |- ( ph -> ( E. g e. X z = [ g ] .~ -> ( A. u e. H ( u .x. z ) = z -> E. g e. X H C_ ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) ) ) )
153	92, 152	syl5bi 232	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ( X /. .~ ) -> ( A. u e. H ( u .x. z ) = z -> E. g e. X H C_ ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) ) ) )
154	153	rexlimdv 3030	. 2 |- ( ph -> ( E. z e. ( X /. .~ ) A. u e. H ( u .x. z ) = z -> E. g e. X H C_ ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) ) )
155	90, 154	mpd 15	1 |- ( ph -> E. g e. X H C_ ran ( x e. K |-> ( ( g .+ x ) .- g ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Er wer 7739   [cec 7740   /.cqs 7741   Fincfn 7955   0cc0 9936   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860   #chash 13117   || cdvds 14983   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588   ~_QG cqg 17590   pGrp cpgp 17946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ga 17723  df-od 17948  df-pgp 17950

This theorem is referenced by:  sylow2b  18038