Theorem tngngp 22458

Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngp.t	|- T = ( G toNrmGrp N )
tngngp.x	|- X = ( Base ` G )
tngngp.m	|- .- = ( -g ` G )
tngngp.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
tngngp	|- ( N : X --> RR -> ( T e. NrmGrp <-> ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, .-   x, N, y   x, T, y   x, X, y   x, .0. , y

Allowed substitution hints:   G( x, y)

Proof of Theorem tngngp

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngp.t	. . . . 5 |- T = ( G toNrmGrp N )
2		tngngp.x	. . . . 5 |- X = ( Base ` G )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( dist ` T ) = ( dist ` T )
4	1, 2, 3	tngngp2 22456	. . . 4 |- ( N : X --> RR -> ( T e. NrmGrp <-> ( G e. Grp /\ ( dist ` T ) e. ( Met ` X ) ) ) )
5	4	simprbda 653	. . 3 |- ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) -> G e. Grp )
6		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> T e. NrmGrp )
7		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> x e. X )
8		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` G ) e. _V
9	2, 8	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- X e. _V
10		reex 10027	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. _V
11		fex2 7121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N : X --> RR /\ X e. _V /\ RR e. _V ) -> N e. _V )
12	9, 10, 11	mp3an23 1416	. . . . . . . . . 10 |- ( N : X --> RR -> N e. _V )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> N e. _V )
14	1, 2	tngbas 22445	. . . . . . . . 9 |- ( N e. _V -> X = ( Base ` T ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> X = ( Base ` T ) )
16	7, 15	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> x e. ( Base ` T ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
18		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( norm ` T ) = ( norm ` T )
19		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
20	17, 18, 19	nmeq0 22422	. . . . . . 7 |- ( ( T e. NrmGrp /\ x e. ( Base ` T ) ) -> ( ( ( norm ` T ) ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` T ) ) )
21	6, 16, 20	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> ( ( ( norm ` T ) ` x ) = 0 <-> x = ( 0g ` T ) ) )
22	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> G e. Grp )
23		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> N : X --> RR )
24	1, 2, 10	tngnm 22455	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ N : X --> RR ) -> N = ( norm ` T ) )
25	22, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> N = ( norm ` T ) )
26	25	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> ( N ` x ) = ( ( norm ` T ) ` x ) )
27	26	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` x ) = 0 <-> ( ( norm ` T ) ` x ) = 0 ) )
28		tngngp.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` G )
29	1, 28	tng0 22447	. . . . . . . 8 |- ( N e. _V -> .0. = ( 0g ` T ) )
30	13, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> .0. = ( 0g ` T ) )
31	30	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> ( x = .0. <-> x = ( 0g ` T ) ) )
32	21, 27, 31	3bitr4d 300	. . . . 5 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) )
33		simpllr 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> T e. NrmGrp )
34	16	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> x e. ( Base ` T ) )
35	15	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> ( y e. X <-> y e. ( Base ` T ) ) )
36	35	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> y e. ( Base ` T ) )
37		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( -g ` T ) = ( -g ` T )
38	17, 18, 37	nmmtri 22426	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. NrmGrp /\ x e. ( Base ` T ) /\ y e. ( Base ` T ) ) -> ( ( norm ` T ) ` ( x ( -g ` T ) y ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) )
39	33, 34, 36, 38	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( norm ` T ) ` ( x ( -g ` T ) y ) ) <_ ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) )
40		tngngp.m	. . . . . . . . . . 11 |- .- = ( -g ` G )
41	2, 15	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` T ) )
42		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
43	1, 42	tngplusg 22446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. _V -> ( +g ` G ) = ( +g ` T ) )
44	13, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` T ) )
45	41, 44	grpsubpropd 17520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> ( -g ` G ) = ( -g ` T ) )
46	40, 45	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> .- = ( -g ` T ) )
47	46	oveqd 6667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> ( x .- y ) = ( x ( -g ` T ) y ) )
48	25, 47	fveq12d 6197	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( x .- y ) ) = ( ( norm ` T ) ` ( x ( -g ` T ) y ) ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( N ` ( x .- y ) ) = ( ( norm ` T ) ` ( x ( -g ` T ) y ) ) )
50	25	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> ( N ` y ) = ( ( norm ` T ) ` y ) )
51	26, 50	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) = ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) = ( ( ( norm ` T ) ` x ) + ( ( norm ` T ) ` y ) ) )
53	39, 49, 52	3brtr4d 4685	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) )
54	53	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) )
55	32, 54	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) /\ x e. X ) -> ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) )
56	55	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) -> A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) )
57	5, 56	jca 554	. 2 |- ( ( N : X --> RR /\ T e. NrmGrp ) -> ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) )
58		simprl 794	. . 3 |- ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) -> G e. Grp )
59		simpl 473	. . 3 |- ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) -> N : X --> RR )
60		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) )
61	60	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> A. x e. X ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) )
62	61	ad2antll 765	. . . 4 |- ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) -> A. x e. X ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) )
63		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( N ` x ) = ( N ` a ) )
64	63	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( ( N ` x ) = 0 <-> ( N ` a ) = 0 ) )
65		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( x = .0. <-> a = .0. ) )
66	64, 65	bibi12d 335	. . . . 5 |- ( x = a -> ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) <-> ( ( N ` a ) = 0 <-> a = .0. ) ) )
67	66	rspccva 3308	. . . 4 |- ( ( A. x e. X ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ a e. X ) -> ( ( N ` a ) = 0 <-> a = .0. ) )
68	62, 67	sylan 488	. . 3 |- ( ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) /\ a e. X ) -> ( ( N ` a ) = 0 <-> a = .0. ) )
69		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) )
70	69	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) )
71	70	ad2antll 765	. . . 4 |- ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) )
72		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( x .- y ) = ( a .- y ) )
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( N ` ( x .- y ) ) = ( N ` ( a .- y ) ) )
74	63	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) = ( ( N ` a ) + ( N ` y ) ) )
75	73, 74	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( x = a -> ( ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) <-> ( N ` ( a .- y ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` y ) ) ) )
76		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( y = b -> ( a .- y ) = ( a .- b ) )
77	76	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( y = b -> ( N ` ( a .- y ) ) = ( N ` ( a .- b ) ) )
78		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = b -> ( N ` y ) = ( N ` b ) )
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( y = b -> ( ( N ` a ) + ( N ` y ) ) = ( ( N ` a ) + ( N ` b ) ) )
80	77, 79	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( y = b -> ( ( N ` ( a .- y ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` y ) ) <-> ( N ` ( a .- b ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` b ) ) ) )
81	75, 80	rspc2va 3323	. . . . 5 |- ( ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ A. x e. X A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) -> ( N ` ( a .- b ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` b ) ) )
82	81	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( A. x e. X A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( N ` ( a .- b ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` b ) ) )
83	71, 82	sylan 488	. . 3 |- ( ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( N ` ( a .- b ) ) <_ ( ( N ` a ) + ( N ` b ) ) )
84	1, 2, 40, 28, 58, 59, 68, 83	tngngpd 22457	. 2 |- ( ( N : X --> RR /\ ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) -> T e. NrmGrp )
85	57, 84	impbida 877	1 |- ( N : X --> RR -> ( T e. NrmGrp <-> ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ A. y e. X ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   distcds 15950   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   Metcme 19732   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   toNrmGrp ctng 22383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-tng 22389

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