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Theorem brtrclfv2 38019
Description: Two ways to indicate two elements are related by the transitive closure of a relation. (Contributed by RP, 1-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
brtrclfv2 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> Y e. |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) )
Distinct variable groups:   R, f   U, f   f, V   f, W   f, X   f, Y
Proof of Theorem brtrclfv2
Dummy variables g r s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4654 . . . 4 |- ( X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } )
21a1i 11 . . 3 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } ) )
3 trclfv 13741 . . . . 5 |- ( R e. W -> ( t+ ` R ) = |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } )
43breqd 4664 . . . 4 |- ( R e. W -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y ) )
543ad2ant3 1084 . . 3 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> X |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } Y ) )
6 elimasng 5491 . . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V ) -> ( Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } ) )
763adant3 1081 . . 3 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) <-> <. X , Y >. e. |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } ) )
82, 5, 73bitr4d 300 . 2 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) ) )
9 intimasn 37949 . . . . 5 |- ( X e. U -> ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) = |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } )
1093ad2ant1 1082 . . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) = |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } )
11 simpl3 1066 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> R e. W )
12 snex 4908 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- { X } e. _V
13 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
1412, 13xpex 6962 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { X } X. f ) e. _V
15 unexg 6959 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. W /\ ( { X } X. f ) e. _V ) -> ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V )
1611, 14, 15sylancl 694 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V )
17 trclfvlb 13749 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V -> ( R u. ( { X } X. f ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
1817unssad 3790 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V -> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
20 trclfvcotrg 13757 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
22 simpl1 1064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> X e. U )
23 snidg 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. U -> X e. { X } )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> X e. { X } )
25 inelcm 4032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. { X } /\ X e. { X } ) -> ( { X } i^i { X } ) =/= (/) )
2624, 24, 25syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( { X } i^i { X } ) =/= (/) )
27 xpima2 5578 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { X } i^i { X } ) =/= (/) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) = f )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) = f )
2916, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( R u. ( { X } X. f ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
3029unssbd 3791 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( { X } X. f ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
31 imass1 5500 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { X } X. f ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) C_ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( { X } X. f ) " { X } ) C_ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
3328, 32eqsstr3d 3640 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> f C_ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
34 imaundir 5546 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R u. ( { X } X. f ) ) " ( { X } u. f ) ) = ( ( R " ( { X } u. f ) ) u. ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) )
35 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f )
36 imassrn 5477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) C_ ran ( { X } X. f )
37 rnxpss 5566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran ( { X } X. f ) C_ f
3836, 37sstri 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) C_ f
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) C_ f )
4035, 39unssd 3789 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) u. ( ( { X } X. f ) " ( { X } u. f ) ) ) C_ f )
4134, 40syl5eqss 3649 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( R u. ( { X } X. f ) ) " ( { X } u. f ) ) C_ f )
42 trclimalb2 38018 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R u. ( { X } X. f ) ) e. _V /\ ( ( R u. ( { X } X. f ) ) " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) C_ f )
4316, 41, 42syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) C_ f )
4433, 43eqssd 3620 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
45 sbcan 3478 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) <-> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) ) )
46 sbcan 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) <-> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r ) )
47 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V
48 sbcssg 4085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r )
50 csbconstg 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R = R )
5147, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R = R
52 csbvarg 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r = ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
5347, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r = ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) )
5451, 53sseq12i 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ R C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r <-> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
5549, 54bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r <-> R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
56 sbcssg 4085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) )
5747, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r <-> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r )
58 csbcog 37941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) = ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r o. [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) )
5947, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) = ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r o. [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r )
6053, 53coeq12i 5285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r o. [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
6159, 60eqtri 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
6261, 53sseq12i 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r o. r ) C_ [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r <-> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
6357, 62bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r <-> ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) )
6455, 63anbi12i 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. R C_ r /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( r o. r ) C_ r ) <-> ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) )
6546, 64bitri 264 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) <-> ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) )
66 sbceq2g 3990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) <-> f = [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) ) )
6747, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) <-> f = [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) )
68 csbima12 5483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) = ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } )
6953imaeq1i 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ r " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } )
70 csbconstg 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) e. _V -> [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } = { X } )
7147, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } = { X }
7271imaeq2i 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ { X } ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } )
7368, 69, 723eqtri 2648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } )
7473eqeq2i 2634 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = [_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]_ ( r " { X } ) <-> f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
7567, 74bitri 264 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) <-> f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) )
7665, 75anbi12i 733 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. f = ( r " { X } ) ) <-> ( ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) /\ f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) )
7745, 76sylbbr 226 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) /\ ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) o. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) C_ ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) ) /\ f = ( ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) " { X } ) ) -> [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
7819, 21, 44, 77syl21anc 1325 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> [. ( t+ ` ( R u. ( { X } X. f ) ) ) / r ]. ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
7978spesbcd 3522 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) /\ ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f ) -> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
8079ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) ) )
81 eqeq1 2626 . . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( g = ( s " { X } ) <-> f = ( s " { X } ) ) )
8281rexbidv 3052 . . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) <-> E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } f = ( s " { X } ) ) )
83 imaeq1 5461 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = r -> ( s " { X } ) = ( r " { X } ) )
8483eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = r -> ( f = ( s " { X } ) <-> f = ( r " { X } ) ) )
8584rexab2 3373 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } f = ( s " { X } ) <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
8682, 85syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 |- ( g = f -> ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) ) )
8713, 86elab 3350 . . . . . . . . 9 |- ( f e. { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ f = ( r " { X } ) ) )
8880, 87syl6ibr 242 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> f e. { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } ) )
89 intss1 4492 . . . . . . . 8 |- ( f e. { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f )
9088, 89syl6 35 . . . . . . 7 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f ) )
9190alrimiv 1855 . . . . . 6 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> A. f ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f ) )
92 ssintab 4494 . . . . . 6 |- ( |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } <-> A. f ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ f ) )
9391, 92sylibr 224 . . . . 5 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } C_ |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
94 ssintab 4494 . . . . . . 7 |- ( |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } <-> A. g ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ g ) )
9583eqeq2d 2632 . . . . . . . . . 10 |- ( s = r -> ( g = ( s " { X } ) <-> g = ( r " { X } ) ) )
9695rexab2 3373 . . . . . . . . 9 |- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) <-> E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) )
97 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> g = ( r " { X } ) )
98 imass1 5500 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R C_ r -> ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) )
9998adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) )
100 imass1 5500 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R C_ r -> ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " ( r " { X } ) ) )
101 imaco 5640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r o. r ) " { X } ) = ( r " ( r " { X } ) )
102 imass1 5500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r o. r ) C_ r -> ( ( r o. r ) " { X } ) C_ ( r " { X } ) )
103101, 102syl5eqssr 3650 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( r o. r ) C_ r -> ( r " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) )
104100, 103sylan9ss 3616 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) )
10599, 104jca 554 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) -> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) )
106105adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) )
107 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- r e. _V
108 imaexg 7103 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r e. _V -> ( r " { X } ) e. _V )
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( r " { X } ) e. _V
110 imaundi 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R " ( { X } u. f ) ) = ( ( R " { X } ) u. ( R " f ) )
111110sseq1i 3629 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f <-> ( ( R " { X } ) u. ( R " f ) ) C_ f )
112 unss 3787 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R " { X } ) C_ f /\ ( R " f ) C_ f ) <-> ( ( R " { X } ) u. ( R " f ) ) C_ f )
113111, 112bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f <-> ( ( R " { X } ) C_ f /\ ( R " f ) C_ f ) )
114 imaeq2 5462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( r " { X } ) -> ( R " f ) = ( R " ( r " { X } ) ) )
115 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( r " { X } ) -> f = ( r " { X } ) )
116114, 115sseq12d 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( r " { X } ) -> ( ( R " f ) C_ f <-> ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) )
117116cleq2lem 37914 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( r " { X } ) -> ( ( ( R " { X } ) C_ f /\ ( R " f ) C_ f ) <-> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) ) )
118113, 117syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( r " { X } ) -> ( ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f <-> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) ) )
119109, 118elab 3350 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r " { X } ) e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } <-> ( ( R " { X } ) C_ ( r " { X } ) /\ ( R " ( r " { X } ) ) C_ ( r " { X } ) ) )
120106, 119sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> ( r " { X } ) e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
12197, 120eqeltrd 2701 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
122121exlimiv 1858 . . . . . . . . 9 |- ( E. r ( ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) /\ g = ( r " { X } ) ) -> g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
12396, 122sylbi 207 . . . . . . . 8 |- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) -> g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
124 intss1 4492 . . . . . . . 8 |- ( g e. { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ g )
125123, 124syl 17 . . . . . . 7 |- ( E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ g )
12694, 125mpgbir 1726 . . . . . 6 |- |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) }
127126a1i 11 . . . . 5 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } C_ |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } )
12893, 127eqssd 3620 . . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> |^| { g | E. s e. { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } g = ( s " { X } ) } = |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
12910, 128eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) = |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } )
130129eleq2d 2687 . 2 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( Y e. ( |^| { r | ( R C_ r /\ ( r o. r ) C_ r ) } " { X } ) <-> Y e. |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) )
1318, 130bitrd 268 1 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ R e. W ) -> ( X ( t+ ` R ) Y <-> Y e. |^| { f | ( R " ( { X } u. f ) ) C_ f } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   [_csb 3533   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   ` cfv 5888   t+ctcl 13724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-trcl 13726  df-relexp 13761
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